Cтраница 2
Другая половина дискретной серии реализуется в пространстве функиий, аналитических в нижней полуплоскости. Операторы представлений задаются той же формулой ( 1), что и в случае первой половины дискретной серии. Никакие два из представлений дискретной серии между собой не эквивалентны. [16]
Результаты, изложенные в этих книгах, представляют собой основу современной теории представлений компактных групп Ли и прообраз более поздней теории представлений локально компактных групп Ли. Вейля для характеров неприводимых представлений компактных групп Ли были обобщены вначале на представления дискретных серий и затем на произвольные неприводимые представления вещественных редуктивных групп Ли. [17]
Оказывается, что все такие решения связаны с представлениями основной, дополнительной и особой серии. Остальные решения не удается выписать в явном виде, но можно показать, что для представлений, соответствующих этим решениям, матричные элементы имеют суммируемый квадрат на подгруппе G. Отсюда следует, что соответствующие представления входят дискретным слагаемым в разложение Z. Так как в § б была получена формула Планшереля, дающая разложение Z. G) по представлениям основной и дискретной серий, мы видим, что оставшиеся решения нашего функционального уравнения связаны с представлениями дискретных серий. [18]