Cтраница 1
Представления пространственных групп впервые были применены к изучению физических свойств кристаллических решеток Хундом ( F. [1]
Представления пространственной группы являются Я / &-мерными матрицами. [2]
Представления пространственной группы являются Я / - мерными матрицами. Их диагональные элементы представляют собой произведения экспоненциальных функций ( существенно, что они являются представлениями группы трансляций) и следов ( R) / - го неприводимого представления точечной группы / С, значение которой мы теперь объясним. [3]
Идея представления пространственной группы в виде конечного набора трансляциошю-эквивалент-ных систем, каждая из которых состоит лишь из одинаковых элементов симметрии, может быть проиллюстрирована также на примере структур алмаза и каменной соли. [4]
В теории представлений пространственных групп применяются элементарные ячейки не в виде элементарных параллелепипедов, а в виде многогранников, отображающих симметрию точечной группы кристалла. Симметризованную центральную ячейку в пространстве волнового вектора принято называть первой зоной Бриллюэна. [5]
В качестве примера представления пространственных групп в этих таблицах рассмотрим группу № 20, С222Г Символ пространственной группы показывает, что элементарная ячейка является С-гранецентрированной и что имеются две поворотные оси 2-го порядка вдоль направлений а и b и одна винтовая ось 2-го порядка вдоль направления с. В пространственной группе С222 все три оси 2-го порядка пересекаются в узле, тогда как в группе С222г узел находится на пересечении осей 212Ъ а поворотная ось второго порядка вдоль направления b проходит на V4 выше по оси с. На рис. 5 показаны эквивалентные общие положения для этой пространственной группы. [6]
Ограничимся рассмотрением только тех представлений пространственных групп, которые получаются из представлений фактор-группы, так как оказывается ( см. § II.4), что только эти представления содержат колебания, активные в ИК - и КР-спектрах. [7]
Если мы теперь ограничимся колебаниями, потенциально-активными в ИК - и КР-спектрах, то мы должны рассматривать представления пространственной группы, выведенные из представлений фактор-группы. Число нормальных колебаний, соответствующих этим представлениям пространственной группы, также можно рассчитать по методу, предложенному Винстоном и Халфордом [37], к описанию которого мы теперь приступим. [8]
Одноэлектронные функции для кристалла нумеруются тремя индексами: nka, где а нумерует разные базисные функции одного и того же представления пространственной группы. [9]
Пусть индексы тип относятся к двум неприводимым представлениям групп S ( q) и & ( - q), соответствующим разным представлениям пространственной группы. Тогда произведения Q ( / n) ( q) Q / l) ( - Q) описывают составные тона. [10]
Поскольку потенциал кристалла V имеет точно ту же симметрию, что и решетка, истинные волновые функции для состояний кристалла должны принадлежать представлениям пространственной группы решетки. Подбор фр, удовлетворяющих этому требованию, был подробно рассмотрен в статьях общего характера, цитированных выше. Напомним, что молекула обозначена индексом р, который определяет как элементарную ячейку кристалла, так и место в ней, которое занимает молекула. Считают, что два места различных элементарных ячеек трансляционно эквивалентны, если они переходят друг в друга при трансляциях элементарной ячейки. [11]
При вращениях и отражениях, входящих в группу k, не меняются функции k, а функции иа преобразуются друг через друга. Размерность построенного таким образом представления пространственной группы равна произведению числа лучей в звезде k на размерность малого представления. [12]
Если мы теперь ограничимся колебаниями, потенциально-активными в ИК - и КР-спектрах, то мы должны рассматривать представления пространственной группы, выведенные из представлений фактор-группы. Число нормальных колебаний, соответствующих этим представлениям пространственной группы, также можно рассчитать по методу, предложенному Винстоном и Халфордом [37], к описанию которого мы теперь приступим. [13]
В терминах теории представлений это значит, что так называемый симметричный куб [ Г3 ] данного представления Г не должен содержать в себе единичного представления. Для неприводимых ( в буквальном смысле этого слова) представлений пространственных групп инвариантов третьего порядка может быть не более одного ( доказательство этого утверждения см. М, С. При объединении же двух представлений в одно физически неприводимое может возникнуть два инварианта третьего порядка. [14]
V), равное числу молекул в кристалле. Однако эта функция не является волновой функцией кристалла, так как не относится ни к какому представлению пространственной группы. [15]