Cтраница 2
В предыдущем подразделе мы рассмотрели кристалл, принадлежащий к пространственной группе низшей симметрии, которая включала только трансляционные элементы. Теперь рассмотрим пространственные группы, имеющие также и некоторые другие элементы симметрии, и попытаемся определить число нормальных колебаний, соответствующих каждому представлению пространственной группы. [16]
Пространственные группы были описаны в предыдущий разделах, где было показано, что порядок трехмернох конечной пространственной группы ( при выполнении граничных условий Борна) равен NiNzN3H, где Я - порядок фактор-группы. Вообще говоря, любая операция симметрии пространственной группы представляет собой комбинацию элементов трансляционной и точечной симметрии. Представления пространственной группы могут быть одномерными, а могут иметь более высокий порядок, вплоть до Я. [17]
Пространственные группы были описаны в предыдущий разделах, где было показано, что порядок трехмернох конечной пространственной группы ( при выполнении граничных условий Борна) равен NiN2N3H, где Н - порядок фактор-группы. Вообще говоря, любая операция симметрии пространственной группы представляет собой комбинацию элементов трансляционной и точечной симметрии. Представления пространственной группы могут быть одномерными, а могут иметь более высокий порядок, вплоть до Я. [18]
При трансляциях функции иа не меняются, а функции if) k ( а с ними и фьа) умножаются на expika. При вращениях и отражениях, входящих в группу k, не меняются функции tjfc, а функции иа преобразуются друг через друга. Размерность построенного таким образом представления пространственной группы равна произведению числа лучей в звезде k на размерность малого представления. [19]
Нейтронографический анализ антиферромагнетика МпО [ 331 показал, что распределение магнитных моментов в нем описывается плоскими волнами с волновыми векторами qt, направленными по диагоналям куба. Сами магнитные моменты S4i перпендикулярны этим диагоналям. Следовательно, в случае МпО реализуется восьмимерное представление пространственной группы кубического кристалла. [20]
Вещественные функции базиса остаются, конечно, вещественными и в результате воздействия всех элементов симметрии; другими словами, вещественны и все матрицы представления группы. Если же некоторое неприводимое представление не удовлетворяет этому требованию, то оно должно быть объединено с комплексно - сопряженным ему представлением в одно физически неприводимое представление вдвое большей размерности. Рассмотрим с этой точки зрения случаи, которые могут иметь место для представлений пространственных групп ( С. [21]
Рассмотрим сначала основные колебания. Если решетка имеет пространственно-групповую симметрию, то эти Зт колебаний должны быть распределены среди так называемых фактор-групповых представлений пространственной группы, которые сводятся к представлению Г ( 0) группы трансляций, если исчезнут все нетрансляционные элементы симметрии пространственной группы. [22]
Когда конец волнового вектора q, служащего для определения звезды, находится внутри зоны, звезда имеет столько лучей, сколько операций g в кристаллическом классе. Группа волнового вектора является группой трансляций, в которой данному вектору q соответствует только одномерное представление. Если Q ( q) - нормальная координата, принадлежащая этому представлению, то g нормальных координат, соответствующих g ветвям звезды, образуют вместе - мерное представление пространственной группы. Когда модуль волнового вектора равен нулю ( q 0), волновой вектор совпадает с центром Г зоны Брил-люэна и все операции симметрии кристаллического класса оставляют этот вектор инвариантным. [23]