Cтраница 3
Существование в алгебре Ли положительно определенного скалярного произведения, инвариантного относительно присоединенного представления, исключительно важно для калибровочных теорий, поэтому именно компактные группы и алгебры Ли используются при их построении. [31]
Отметим, что левая часть этого уравнения ковариантно ( по присоединенному представлению) преобразуется при калибровочных преобразованиях. [32]
Таким образом, в рассматриваемом примере / ( - представление эквивалентно присоединенному представлению, а орбиты группы G в / ( - представление - классы подобных матриц. [33]
Алгебра Ли ad a - образ алгебры а при ее присоединенном представлении - есть алгебра эндоморфизмов векторного пространства а, но ad а не обязательно алгебраична. [34]
В калибровочных теориях на некоммутативном R2n с полями материи в присоединенном представлении можно ввести такие поля, что операторы ж будут отсутствовать как в действии, так и в полевых уравнениях; формально от некоммутативных координат можно полностью избавиться. Такая теория будет выглядеть как теория бесконечномерных матричных полей ( матричная модель) в d - мерном пространстве времени с координатами уа; то, что в действительности она описывает поля, распространяющиеся в ( d 2n) - мерном пространстве-времени, будет видно только после решения линеаризованных полевых уравнений. Это замечательное свойство некоммутативных калибровочных теорий служит хорошей иллюстрацией возможности того, что размерность пространства-времени ( а, возможно, и само пространство-время) не имеет абсолютного характера и определяется динамическим путем. [35]
Центр группы Sp ( l) есть 1, и ее присоединенное представление отображает Sp ( l) / l изоморфно на S0 ( 3), группу вращений трехмерного евклидова пространства. [36]
В общем случае поля релаксируют к экстремалям функционала энергии на орбитах присоединенного представления. Экстремали функционала энергии на орбитах присоединенного и коприсоединенного представлений группы диффеоморфизмов совпадают ( [2], гл. Последние же суть хорошо известные изозавихренные поля, которые являются собственными для оператора rot. Как правило, такие поля неинтегрируемы - это класс так называемых бессиловых полей ( т.е. полей v, удовлетворяющих условию rot v x v - 0 или rot v / г, причем неинтегрируемость имеет место, как правило, при / const, как, например, для ABC-полей на Т3, если ни один из параметров Л, В, С не обращается в нуль ( [2], гл. [37]
Достаточность этого условия сразу следует из критерия Картана, поскольку ядро присоединенного представления совпадает с центром. Обратно, пусть алгебра 8 разрешима. [38]
Рассмотрим действие группы G на 5 ( д), определенное присоединенным представлением. Пусть D - максимальная треугольная подгруппа в G, описанная в задаче 28, и пусть / о е & - - инвариантный относительно D флаг. Пусть теперь С - любая максимальная - треугольная подгруппа в G. Применяя к линейной группе - Ad С задачу 34, получаем флаг f Q, инвариантный относительно С. [39]
Связь между внутренним автоморфизмом группы ia: G - G и присоединенным представлением Ada L ( G ] - L ( G) дает следующее утверждение. [40]
Таким образом, Y есть элемент из подгруппы целочисленных матриц в присоединенном представлении. [41]
Алгебра AG - это действительное векторное пространство, которое и является пространством присоединенного представления. [42]
Первое из этих соотношений означает просто, что аномалия G преобразуется по присоединенному представлению векторной калибровочной группы. [43]
ЛИ РЕДУКТИВНАЯ АЛГЕБРА - конечномерная алгебра Ли над полем k характеристики 0, присоединенное представление к-рой вполне приводимо. [44]
Второе соотношение ( 14) доказывается точно так же, но следует рассматривать присоединенное представление. [45]