Cтраница 1
Присоединенное представление алгебры f индуцирует представление р алгебры ф; элементы из р ( ф) нильпотентны и отображают ф в, себя. Пусть а - представление, индуцированное р в фактор - пространстве mod Ij; элементы из о () нильпотентны. [1]
Присоединенное представление алгебры g индуцирует представление а алгебры fy, относительно которого пространство fy допустимо. [2]
Матрицы присоединенного представления алгебры Ли совпадают со структурными константами. [3]
Применяя теорему к присоединенному представлению алгебры L, получаем, что алгебра ad L разрешима. [4]
IV; отсюда видно, что присоединенное представление алгебры g индуцирует полупростое представление алгебры а ( теорема 4 из § 4 гл. [5]
Если это условие выполнено, то присоединенное представление алгебры g полу просто. [6]
Алгебра adgl) - образ алгебры при присоединенном представлении алгебры g - является подалгеброй алгебры b дериваций алгебры g; алгебра b есть алгебра Ли группы автоморфизмов алгебры g ( теорема 16 § 14 гл. Множество всех дериваций D алгебры g, таких, что D ( a) 0), является алгебраической подалгеброй в b и содержит adgf); следовательно, она содержит также с. Так как а - множество всех элементов из g, перестановочных со всеми элементами из), то оно является одновременно множествОхМ всех элементов из g, отображаемых в 0 всеми операторами из с. Алгебра с есть алгебра Ли неприводимой алгебраической группы Г автоморфизмов алгебры g, a a - множество всех элементов из g, оставляемых на месте операторами из Г ( следствие 5 теоремы 1 из гл. Если ш - такое подпространство алгебры g, что [ I), m ] czm, то множество дериваций алгебры д, отображающих m в себя, образует алгебраическую алгебру Ли, содержащую adgf), а значит, и с. Отсюда следует, что тождественное отображение с в пространство эндоморфизмов пространства g есть полупростое представление алгебры с, так что тождественное отображение группы Г в группу автоморфизмов пространства д - полупростое представление группы Г ( следствие 4 теоремы 1 из гл. [7]
Теорема 2 содержательна, если пространство it () доста точно богато, т.е. если присоединенное представление алгебры приводимо. Наиболее интересный класс примеров связан с рассмотрением аффинных алгебр Ли, или алгебр петель. [8]
Тогда следующие три условия эквивалентны друг другу, а) алгебра g редуктивна б) присоединенное представление алгебры g полу простое, в) производная алгебра Sg алгебры g полу простая. [9]
Заметим, что определенные выше группы Шевалле названы присоединенными, поскольку они были построены из присоединенного представления алгебры L, с которым мы работали в ходе обсуждения. Однако вся процедура может быть обобщена на другие точные представления алгебры L. При этом получаются другие формы групп Шевалле. Точнее говоря, присоединенные группы Шевалле всегда имеют тривиальный центр, а другие формы оказываются накрывающими группами присоединенного варианта. Кроме того, существует представление, приводящее к универсальной группе Шевалле, из которой все другие варианты получаются как гомоморфные образы. [10]
Векторное подпространство 6 в а, порожденное множеством 5, является, очевидно, абелевой подалгеброй, и элементы этой подалгебры представлены полупростыми операторами в присоединенном представлении ( том II, предложение 4 § 8 гл. Присоединенное представление алгебры а индуцирует полупростое представление алгебры § ( теорема 4 из § 4 гл. [11]
Присоединенное представление алгебры gt ( V) есть дифференциал присоединенного представления группы GL ( V) ( том II, предложение 7 из § 9 гл. GL ( V), то образ элемента S при присоединенном представлении группы GL ( V) переводит каждое бйИЮ в SES - l, а нам известно, что SES 1 и Е имеют один и тот же характеристический полином, что и доказывает наше утверждение. Отметим, что доказательство проходит даже в случае основного поля с характеристикой, отличной от 0, как это показывает замечание, сделанное после следствий теоремы 1 в гл. [12]
Чтобы показать полезность разложения Жордана, рассмотрим один частный случай. Возьмем присоединенное представление алгебры Ли & l ( V), где пространство V конечномерно. [13]
Кроме того, присоединенное представление алгебры g не отображает эту алгебру на алгебру Ли наименьшей алгебраической группы, содержащей образ группы G при присоединенном представлении ( ср. Наконец, элементы вида s ( l, b) не принадлежат центру группы G, между тем как они находятся в ядре присоединенного представления группы G ( ср. [14]
Существует и другой метод, основанный на использовании линейных представлений, который также приводит к построению всех возможных типов. Имитируя первоначальное построение Шевалле с заменой присоединенного представления алгебры Ли другими представлениями, мы можем построить матричную группу над К, для которой Х ( Г) занимает любое место между Л и Лг. Он опирается на Z-формы Костанта универсальных обертывающих алгебр. [15]