Cтраница 2
Выберем среди всех абелевых подалгебр алгебры д, состоящих из полупростых элементов ( одна такая алгебра, а именно 0, во всяком случае, существует), подалгебру максимальной размерности и обозначим ее через а. IV получаем, что присоединенное представление алгебры g индуцирует полупроетое представление алгебры а. Пусть В - элемент из Ь, В1 - его полупростая, а В2 - нильпотентная компоненты. Элементы В1 и В2 являются репликами В и, следовательно, принадлежат g ( том II, предложение 2 из § 14 гл. [16]
Универсальная обертывающая алгебра Ui алгебры Ли L над полем F характеристики нуль есть PI-A. Если же F - поле конечной характеристики, то Ui является PI-A. L обладает абелевым идеалом конечной коразмерности и присоединенное представление алгебры L является алгебраическим ограниченной степени. [17]
Дифференцирования такого вида называются внутренними, а все остальные - внешними. Разумеется, вполне возможно, что ad x Q при х 0: например, так будет в любой одномерной алгебре Ли. Отображение L - Der L, имеющее вид х ь - ad х, называется присоединенным представлением алгебры L; во всем последующем изложении оно играет решающую роль. [18]
La ( для a х - 0, или, что равносильно, для ос. Разумеется, это понятие зависит от выбора базиса А. Например, если алгебра L проста, а 3 - старший корень в Ф относительно А ( лемма 10.4 А), то любой ненулевой элемент в Lp является старшим вектором присоединенного представления алгебры L; очевидно, что других старших векторов в этом случае нет. Если dim V ос, то старший вектор не обязательно существует. [19]
Тогда связная компонента единицы О0 группы G также компактна. Ее присоединенное представление, следовательно, полупросто ( том I, теорема 1 из § II гл. Его дифференциал - присоединенное представление алгебры g, которое полупросто, в силу предложения 8 § 8 гл. Теперь из предложения 1 следует, что алгебра g редуктивна. [20]
Оператор С перестановочен со всеми операторами из р ( Я / г) ( предложение 3 из § 3 гл. III, п 10) вытекает, что С является автоморфизмом алгебры г и потому обратим. Пусть еще Т2 - пространство однородных элементов степени 2 тензорной алгебры Т над g / r; отображение р может быть продолжено в гомоморфизм - который мы также обозначим через р - алгебры ТЕ ( ассоциативную) алгебру эндоморфизмов пространства г, причем С будет образом при отображении р элемента t из Т2, гармонического относительно присоединенного представления алгебры g / r ( см. § 3 гл. [21]