Cтраница 1
Присоединенное представление группы Ли на ее алгебре Ли часто бывает легче построить по ее инфинитезимальным образующим. [1]
Дифференциал присоединенного представления группы Ли совпадает с присоединенным представлением ее касательной алгебры. [2]
Применим задачу 1.25 к присоединенному представлению группы G, взяв в качестве U и W подпространства ft и) f соответственно. [3]
Утверждение получается применением к присоединенному представлению группы G следствия 2 теоремы 3.5 гл. [4]
Рассмотрим теперь в качестве R присоединенное представление Ad группы G в своей касательной алгебре. [5]
Где р - подпространство, инвариантное относительно присоединенного представления группы J. Хорошо известно, что в редуктивном однородном пространстве всегда существует инвариантная линейная связность. [6]
Большую роль в теории групп Ли играет понятие присоединенного представления группы. Оказывается, что любая - параметрическая группа Ли имеет представление размерности п, вид которого полностью определяется локальной структурой данной группы. Здесь отметим, что для компактных простых групп, каковыми, в частности, являются группы SU ( N) и SO ( N) при лю бом значении N, присоединенное представление неприводимо. В заключение этого раздела заметим, что в теории поля группу SU ( 2) часто ассоциируют с группой спина ( или изоспина), а группу SU ( 3) - с группой унитарной симметрии. В таком случае векторы пространства X, в котором реализовано неприводимое представление группы SU ( 2), можно отождествить со спиновыми ( изоспиновыми) мультиплетами, группы S ( / ( 3) - с унитарными мультиплетами. Существуют спиновые мультиплеты любой размерности. [7]
Ли g является № - инвариантным в том и только том случае, когда f - идеал, присоединенное представление группы G в ее алгебре Ли g неприводимо тогда и только тогда, когда G ( соотв. [8]
Чтобы лиевское произведение двух операторов порождало оператор Х5, необходимо, чтобы след матрицы, соответствующей Х5 в присоединенном представлении группы Gr, был равен нулю. [9]
Отсюда и из (4.27) видно, что тензор напряженности должен преобразовываться нетривиально при калибровочных преобразованиях: выражение (4.28) преобразуется по присоединенному представлению группы при глобальных преобразованиях. [10]
Отсюда и из (4.27) видно, что тензор напряженности должен преобразовываться нетривиально при калибровочных преобразованиях: выражение (4.28) преобразуется по присоединенному представлению группы при глобальных преобразованиях. [11]
Имеет место следующая теорема: алгебра Ли компактна тогда и только тогда, когда в ней существует ( положительно определенное) скалярное произведение, инвариантное относительно действия присоединенного представления группы. [12]
Присоединенное представление алгебры gt ( V) есть дифференциал присоединенного представления группы GL ( V) ( том II, предложение 7 из § 9 гл. GL ( V), то образ элемента S при присоединенном представлении группы GL ( V) переводит каждое бйИЮ в SES - l, а нам известно, что SES 1 и Е имеют один и тот же характеристический полином, что и доказывает наше утверждение. Отметим, что доказательство проходит даже в случае основного поля с характеристикой, отличной от 0, как это показывает замечание, сделанное после следствий теоремы 1 в гл. [13]
Пусть G - нилъпотентная алгебраическая подгруппа группы GL ( l /) g - алгебра Ли группы G и s - элемент из G. Обозначим через I тождественный автоморфизм пространства V и через Ad s образ элемента s при присоединенном представлении группы G. Тогда эндоморфизм I-Ad s пространства g нилъпотентен. [14]
Слова орбитальная эквивалентность выше относятся к действию группы Diff на пространстве векторных полей. Группа Diff является полупрямым произведением группы диффеоморфизмов фазового пространства на мультипликативную подгруппу единиц в кольце гладких функций на фазовом пространстве. Действию группы Diff на пространстве векторных полей ( расширению присоединенного представления группы Ли Diff на своей алгебре Ли) отвечает линейное представление алгебры Ли группы Diff на алгебре Ли всех ( гладких) векторных полей. С помощью операции внешнего умножения на фиксированное векторное поле это представление проектируется на пространство бивекторных полей на фазовом пространстве. Точнее, проекция представления дается действием производной Ли вдоль фиксированного проекцией векторного поля на пространстве бивекторных полей. [15]