Cтраница 2
Присоединенное представление алгебры gt ( V) есть дифференциал присоединенного представления группы GL ( V) ( том II, предложение 7 из § 9 гл. GL ( V), то образ элемента S при присоединенном представлении группы GL ( V) переводит каждое бйИЮ в SES - l, а нам известно, что SES 1 и Е имеют один и тот же характеристический полином, что и доказывает наше утверждение. Отметим, что доказательство проходит даже в случае основного поля с характеристикой, отличной от 0, как это показывает замечание, сделанное после следствий теоремы 1 в гл. [16]
Кроме того, присоединенное представление алгебры g не отображает эту алгебру на алгебру Ли наименьшей алгебраической группы, содержащей образ группы G при присоединенном представлении ( ср. Наконец, элементы вида s ( l, b) не принадлежат центру группы G, между тем как они находятся в ядре присоединенного представления группы G ( ср. [17]
В § 3.1 излагается метод, основанный на построении инвариантов данного действия группы. Он иллюстрируется в § 3.2 рядом интересных примеров, включая уравнение теплопроводности, уравнение Кортевега - де Фриза и уравнения Эйлера для течения идеальной жидкости. Дальнейшие примеры указаны в упражнениях в конце главы, там же приведены ссылки на литературу. В третьем параграфе рассматривается задача классификации решений, инвариантных относительно группы. Почти всегда имеется бесконечное число различных групп симметрии, которые можно применять для нахождения инвариантных решений, поэтому для достижения полного понимания того, какие именно решения могут быть полезны, существенно уметь определять, какие группы дают принципиально разные типы инвариантных решений. Поскольку всякое преобразование из полной группы симметрии будет переводить решения в другие решения, нам нужно найти лишь те инвариантные решения, которые не связаны преобразованием из полной группы симметрии. Эта задача классификации может быть решена с помощью присоединенного представления группы симметрии на ее алгебре Ли. Она включает аналогичную классификацию различных подгрупп группы симметрии. [18]