Преобразование - радон
Cтраница 1
Преобразование Радона, определяемое при помощи интегрирования по орисферам, также является эквивариантным изоморфизмом подходящих пространств функций. Но оно не определено для многочленов, потому что их интегралы по орисферам, вообще говоря, расходятся. [1]
Собственно преобразование Радона было определено Радоном ( Radon) в статье 1917 г. Оно состояло в том, что каждой функции на евклидовой плоскости сопоставлялась функция на множестве прямых, значение которой на прямой равно интегралу исходной функции по этой прямой. Конечно, функции надо рассматривать достаточно быстро убывающие, чтобы интегралы существовали. Но я о таких вещах в своем докладе говорить не собираюсь, поскольку меня будет интересовать совсем другое. В частности, давайте в этом классическом примере обратим внимание на то, где определены рассматриваемые функции. А преобразования Радона функции определены на множестве прямых. [2]
Математической основой всего рассмотрения является аппарат преобразований Радона [1], в котором функциям, заданным в евклидовом пространстве, ставятся в соответствие их интегралы по гиперплоскостям. РТ, а сразу для n - мерного евклидова пространства. Надеемся, что такое обобщение не отпугнет читателя ( в частности, физика-экспериментатора), поскольку выкладки и приводимые формулы достаточно просты, а сама схема обобщения 2D или 3Z) задачи на и-мерный случай совершенно естественна и прозрачна. Ситуации 2D и 3Z) будут подробно рассмотрены в гл. [3]
Общая идеология состоит в том, что преобразование Радона проще, чем исходное пространство. [4]
 |
Явление Гиббса. [5] |
Коэффициенты этого ряда являются коэффициентами Фурье так называемого преобразования Радона исходной плотности; преобразование Радона - это интеграл исходной плотности вдоль прямой, рассматриваемый как функция прямой; здесь оно рассматривается как функция одной переменной, а именно, расстояния прямой данного параллельного пучка прямых от одной из этих прямых. [6]
 |
Проекционное изображение с помощью многоканального ( а и одно. [7] |
Как уже отмечалось, при использовании методов обращения преобразования Радона или экспоненциального преобразования Радона предполагается возможность наблюдения ( зондирования) объекта во всех направлениях. Эта группа методов относится к так называемой поперечной томографии. Если это предположение не выполняется, то в поперечной томографии возникает фундаментальная, не решенная до конца проблема реконструкции объекта по неполным проекционным данным. В то же время существует другой подход ( так называемая продольная томография), в котором изначально не предполагается движение системы измерений вокруг объекта. Если же какое-то движение и происходит, то при этом система измерений все время находится с одной стороны от объекта. [8]
В предыдущей главе были рассмотрены важнейшие свойства прямого и обратного преобразований Радона, выполняемых в евклидовом пространство п измерений. Потребности реального томографического эксперимента, в котором с помощью коллимирован-ных пучков выделен определенный плоский слой, стимулируют продолжение соответствующего математического анализа для двумерных ( 2D) объектов. [9]
Как видно, выходной сигнал прямолинейной измерительной линии содержит данные о преобразовании Радона от распределений обеих декартовых компонент векторного поля. Однако в общем случае величины коэффициентов С и В не связаны определенной функциональной зависимостью. Поэтому для их определений необходима дополнительная информация. [10]
Как следует из (10.14), сигнал на выходе измерительной петли представляет собой преобразование Радона от дивергенции исследуемого физического поля. Таким образом, осуществляя сканирование области распределения физического поля по полярным координатам измерительной петлей и выполняя обратное преобразование Радона, можно восстановить распределение div. [11]
Рассмотрим в качестве такой пары обычное пространство томограммы и сопряженное с ним преобразованием Радона пространство Радона, или же пространство определения синограммы. [12]
 |
Явление Гиббса. [13] |
Коэффициенты этого ряда являются коэффициентами Фурье так называемого преобразования Радона исходной плотности; преобразование Радона - это интеграл исходной плотности вдоль прямой, рассматриваемый как функция прямой; здесь оно рассматривается как функция одной переменной, а именно, расстояния прямой данного параллельного пучка прямых от одной из этих прямых. [14]
Сопоставляя преобразования Фурье и Радона, авторы известной монографии [2] подчеркивают определенные преимущества преобразования Радона при решении многих прикладных задач. Действительно, как видно из (4.32), преобразование Фурье можно разложить в композицию преобразования Радона и последующего преобразования Фурье в одномерном пространстве. Кроме того, оно типично только для евклидова пространства, которым мы ограничиваемся в этой главе. Строго говоря, аналог ID фурье-образа существует и в других однородных пространствах ( например, в пространстве Лобачевского), но он уже связан с представлениями групп и строится значительно сложнее. [15]
Страницы: 1 2 3 4