Преобразование - радон
Cтраница 3
Прямое и обратное преобразования Абеля являются частным решением общей задачи восстановления многомерного объекта по известным проекциям. Для произвольного объекта обратная операция называется ( обратным) преобразованием Радона. [31]
Заметьте, что размерность многообразия орисфер равна п, где п - размерность основного пространства. Иначе мы не могли бы надеяться на то, что преобразование Радона функции будет обратимо. [32]
В пропорциональных средах появляется возможность использования традиционного томографического подхода, использующего преобразование Радона. [33]
Исторически сначала были предложены приближенные методы коррекции ослабления излучения для уравнения (1.101), и только впоследствии были разработаны точные методы обращения экспоненциального преобразования Радона. Тогда, применяя к скорректированным проекциям методы, разработанные для обращения преобразования Радона, можно было бы восстанавливать искомое распределение источников излучения, не учитывая ослабление излучения в веществе. [34]
Сопоставляя преобразования Фурье и Радона, авторы известной монографии [2] подчеркивают определенные преимущества преобразования Радона при решении многих прикладных задач. Действительно, как видно из (4.32), преобразование Фурье можно разложить в композицию преобразования Радона и последующего преобразования Фурье в одномерном пространстве. Кроме того, оно типично только для евклидова пространства, которым мы ограничиваемся в этой главе. Строго говоря, аналог ID фурье-образа существует и в других однородных пространствах ( например, в пространстве Лобачевского), но он уже связан с представлениями групп и строится значительно сложнее. [35]
В поперечной эмиссионной вычислительной томографии поглощение излучения в среде представляет собой дополнительный мешающий фактор. Однако в случае однородной среды с известным коэффициентом ослабления задача сводится к обобщению преобразования Радона - экспоненциальному преобразованию Радона. Соответственно рассмотрены обобщения методов обращения преобразования Радона на экспоненциальное преобразование Радона, в частности обобщения методов ро-фильтрации, фурье-синтеза и фильтрованных обратных проекций. [36]
Модель чисто поглощающей среды. Простейшая модель чисто поглощающей среды является физической основой традиционной вычислительной томографии, опирающейся на преобразование Радона. [37]
Хотя принципиально эта задача была решена И. Радоном в 1917 г., указавшим способ обращения интегрального преобразования, получившего его имя ( преобразование Радона), значительные усилия большого числа исследователей были сосредоточены на разработке достаточно эффективных в вычислительном плане алгоритмов восстановления изображений и на преодолении трудностей, возникающих при исследовании реальных объектов. [38]
Заметим, что если ( х у - 0, то уравнение (1.108) превращается в преобразование Радона относительно s ( x y), к которому применимы методы, описанные в предыдущем разделе. Тем не менее в обзоре алгебраических методов вычислительной томографии будет рассмотрен один из подходов к решению этой задачи. Другая задача возникает, если считать / л ( х, у ] произвольной, но известной функцией. Такой случай возможен, если предварительно определить распределение коэффициента ослабления излучения, например методами трансмиссионной рентгеновской томографии. Решение и этой задачи возможно, по-видимому, только в алгебраической форме. [39]
 |
Траектории распределения волоконно-оптических интегрирующих измерительных линий по исследуемой области векторного физического поля. [40] |
Используя полученные уравнения (10.10) - (10.12) можно найти неизвестные значения С и В. Таким образом, при использовании распределенной волоконно-оптической измерительной сети, содержащей прямолинейные и модифицированные измерительные линии, можно получить преобразования Радона для распределений обеих проекций векторного физического поля на декартовые координаты. В результате задача восстановления распределения векторного поля сводится к уже рассмотренной выше задаче восстановления функции распределения скалярных величин по известным интегральным образам, что делается с использованием процедуры обратного преобразования Радона. [41]
В последнее время в задачах аэро - и газодинамики, а также физики плазмы все большую роль начинает играть цифровая ( компьютерная) голография. Хотя привито считать, что основой алгоритмов синтеза и реконструкции голограмм является преобразование Фурье, нетрудно убедиться, что и преобразование Радона, составляющее теоретическую основу томографии, также для этих алгоритмов весьма важный математический компонент. [42]
При этом, как правило, под внутренними структурами понимается пространственное распределение макроскопических характеристик СРС, например коэффициента поглощения и коэффициента рассеяния излучения. Такой интерес обусловлен как практической значимостью оптической томографии СРС, так и научной сложностью самой задачи, поскольку хорошо разработанный математический аппарат традиционной вычислительной томографии, опирающийся на преобразование Радона ( см. гл. Поэтому при разработке томографических подходов приходится начинать с описания прохождения излучения через СРС, что является сложной задачей. В результате такое описание превратилось практически в самостоятельное направление, в котором переход к томографии только подразумевается. В большинстве работ, посвященных этой теме, практически не обсуждается принципиальный вопрос выбора подлежащих восстановлению параметров СРС. Между тем ответ на этот вопрос в значительной мере зависит от математической модели, используемой для описания прохождения оптического излучения через СРС. [43]
Переход к нестационарным моделям и импульсному излучению обусловлен двумя основными факторами. Первый фактор заключается в том, что, выделяя из временного распределения баллистическую компоненту и учитывая справедливость для нее закона экспоненциального ослабления, можно восстановить пространственное распределение коэффициента экстинкции, используя стандартную томографическую схему измерений и алгоритмы, опирающиеся на преобразование Радона. Такая задача уже в принципе неразрешима в рамках преобразования Радона вследствие недостаточности исходной информации в стационарном случае. Выход во временную область позволяет резко увеличить количество исходной информации. [44]
Задача эта была решена австрийским математиком И. Преобразование Радона ставит в соответствие каждой функции ее интеграл по прямой. Кстати, преобразования Радона и Фурье оказываются тесно связанными между собой. [45]
Страницы: 1 2 3 4