Cтраница 2
Покажем, что, применяя известные из курса геометрии сведения о преобразованиях фигур, этот список можно существенно расширить. [16]
Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движения и преобразования сами по себе. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к кон. [17]
Определение преобразования подобия одинаково и на плоскости, и в пространстве. Преобразование фигуры в фигуру называется преобразованием подобая, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются ( увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же т исло раз. [18]
Наиболее важную роль в геометрии играют так называемые взаимно однозначные преобразования. Преобразование фигуры называется взаимно однозначным или о дно-однозначным ( 1 - 1-значным), если каждая точка фигуры-образа имеет только один прообраз. [19]
Преобразование фигуры F в фигуру F, при котором каждая ее точка X переходит в точку Х, симметричную X относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. На рисунке 204 изображен Д - AiBiCi, симметричный ААВС относительно центра О. [20]
Пусть фигура F переводится движением в фигуру Flt а фигура F, переводится движением в фигуру Ft. Преобразование фигуры F - в фигуру F2, полученное в результате двух движений, выполненных последовательно, сохраняет расстояние между точками и, следовательно, является движением. [21]
Пусть произвольная точка М фигуры F при этом преобразовании переходит в точку Мг фигуры Рг. Преобразование фигуры Рг в фигуру F, при котором точка М1 переводится в точку М, называется преобразованием, обратным данному. Движение сохраняет расстояние между точками, поэтому переводит различные точки в различные. Значит, преобразование, обратное движению, также является движением. [22]
Следовательно, цветовое пространство должно обладать аффинными свойствами. В результате такого преобразования фигур ( плоских и объемных) могут изменяться углы между отрезками прямых и отношение длин непараллельных отрезков прямых или кривых, так что форма фигур тоже изменится. Для сохранения аффинных свойств преобразования фигур должны быть аффинными. Для получения аффинного преобразования фигур пользуются параллельной проекцией. В ряде случаев требуется при проекции фигур нарушить некоторые их аффинные свойства. Для этого пользуются центральной проекцией ( проективным преобразованием) фигур. [23]
Всякая невырожденная линия второго порядка определяет биекцию точек проективной плоскости и множества ее прямых. Соответствующие при этом преобразовании фигуры наз. Фигура, совпадающая со своей взаимно полярной, наз. [24]
Тогда говорят, что фигура F получена ортогональным преобразованием из F. Очевидно, при ортого нальном преобразовании фигуры расстояния между ее точками не изменяются. [25]
Можно также убедиться в том, что последовательные отражения в плоскостях переводят прямые линии в прямые, сохраняя углы между ними и длины масштабных отрезков, выбранных на прямых. Это в свою очередь, означает, что при всех перечисленных выше преобразованиях фигуры преобразуются в себя, как твердое тело без деформаций. [26]
Пусть преобразование фигуры F в фигуру FI переводит различные точки фигуры F в различные топки фигуры F. Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку Х фигуры F. Преобразование фигуры FI в фигуру F, при котором точка Х перейдет в точку X, называется преобразованием, обратным данному. Преобразование, обратное движению, является также движением. [27]
Следовательно, цветовое пространство должно обладать аффинными свойствами. В результате такого преобразования фигур ( плоских и объемных) могут изменяться углы между отрезками прямых и отношение длин непараллельных отрезков прямых или кривых, так что форма фигур тоже изменится. Для сохранения аффинных свойств преобразования фигур должны быть аффинными. Для получения аффинного преобразования фигур пользуются параллельной проекцией. В ряде случаев требуется при проекции фигур нарушить некоторые их аффинные свойства. Для этого пользуются центральной проекцией ( проективным преобразованием) фигур. [28]