Cтраница 1
Аффинное преобразование пространства, состоящее в сжатии к плоскости и сжатии с обратным коэффициентом к перпендикулярной к ней плоскости, мы будем называть прямым гиперболическим поворотом пространства относительно этой пары плоскостей ] линию пересечения плоскостей мы будем называть осью гиперболического поворота. [1]
Аффинные преобразования пространства, индуцируемые прямыми гиперболическими поворотами, мы будем называть просто гиперболическими поворотами. [2]
Аффинное преобразование пространства, при котором каждая прямая, перпендикулярная к некоторой заданной плоскости, переносится параллельно себе как жесткое целое так, что закреп - Черт. [3]
Аффинное преобразование пространства взаимно однозначно. [4]
Аффинным преобразованием пространства S называется преобразование F: S - - S, действующее по формуле F ( x) xa Ах, где А - линейный оператор, х - фиксированный вектор. Доказать, что аффинное преобразование обратимо в том и только в том случае, если оператор А невырожден, и найти обратное преобразование. [5]
Если аффинное преобразование пространства переводит какую-либо замкнутую поверхность Т в некоторую соответственную поверхность Т, то можно исследовать это преобразование одной поверхности в другую при помощи параллельных хорд, проведенных в первой поверхности по определенному направлению. Таким хордам будут соответствовать во второй поверхности также параллельные хорды, длины которых изменены в одном и том же отношении. Поэтому аффинное преобразование, переводящее поверхность Т в соответствующую ей поверхность Т, можно охарактеризовать как сжатие или растяжение в определенном направлении. [6]
При заданном аффинном преобразовании пространства сфера единичного радиуса переходит в некоторый эллипсоид. Рассмотрим какое-нибудь разложение этого аффинного преобразования на произведение ортогонального преобразования и сжатий к трем взаимно перпендикулярным плоскостям. При ортогональном преобразовании сфера единичного радиуса перейдет в такую же сферу, последующие же сжатия преобразуют полученную сферу в указанный эллипсоид. Но согласно п 3 коэффициенты трех взаимно перпендикулярных сжатий, преобразующих сферу единичного радиуса в заданный эллипсоид, однозначно определены. Отсюда заключаем, что, независимо от того, однозначно или неоднозначно определены направления сжатий, во всяком случае, коэффициенты трех взаимно перпендикулярных сжатий, составляющих в произведении с некоторым ортогональным преобразованием заданное аффинное преобразование пространства, однозначно определены этим аффинным преобразованием. [7]
Поэтому всякое аффинное преобразование пространства, переводящее в себя эллипсоид, можно рассматривать, как индуцированное аффинным преобразованием пространства, переводящим в себя сферу, аффинным образом которой эллипсоид является. В п 3 § 35 было доказано аналитическим способом, что аффинные преобразования, переводящие сферу в себя, суть ортогональные преобразования оставляющие ее центр на месте. Мы можем теперь получить этот результат чисто геометрическим путем. Действительно, по доказанному выше, аффинное преобразование, переводящее сферу в себя, переводит репер, образованный сопряженной тройкой радиусов сферы, в такой же репер. [8]
Последовательное выполнение аффинных преобразований пространства является аффинным преобразованием пространства. [9]
Основное свойство аффинного преобразования пространства формулируется следующим образом: при аффинном преобразовании пространства плоскости переходят в плоскости, прямые в прямые, параллельные плоскости и прямые переходят в параллельные плоскости и прямые. [10]
Теорема 26.8. Всякое аффинное преобразование пространства Е - есть композиция п сжатий параллельно п попарно ортогональным векторам и движения. [11]
Если коэффициенты сжатий аффинного преобразования пространства попарно различны, то направления этих сжатий однозначно определяются заданным аффинным преобразованием. Эти однозначно определенные направления сжатий такого аффинного преобразования называются главными направлениями этого преобразования. [12]
Геометрический способ задания аффинных преобразований пространства основан на следующем утверждении: аффинное преобразование пространства определено однозначно, если заданы образы четырех точек, не лежащих на одной плоскости, и эти образы также не лежат на одной плоскости. [13]
Теорема 27.2. При аффинном преобразовании пространства Ап ( i) любая квадрика преобразуется в квадрику. [14]
Важно отметить, что всевозможные аффинные преобразования пространства 1п образуют группу. [15]