Cтраница 2
Теорема 25.17. Множество всех аффинных преобразований пространства А есть группа относительно композиции преобразований. [16]
Аналогичным образом может быть определено аффинное преобразование пространства в себя. [17]
Покажем, наконец, что аффинное преобразование пространства в себя сохраняет простое отношение трех точек прямой. [18]
Докажите, что множество всех аффинных преобразований пространства Е, заданных в прямоугольных координатах с помощью формул вида X kAX - - B, где А - ортогональная матрица; k - отличное от нуля действительное число, образует группу. Она называется группой подобий. Докажите, что все пары параллельных fe - мерных ( k фиксировано) плоскостей ( см. определение 25.7) эквивалентны относительно преобразований подобия. [19]
Существенный интерес представляет тот частный случай аффинного преобразования пространства, когда неподвижные точки образуют плоскость. Уравнения ( 5) представляют собой три плоскости, причем точка их пересечения и является, очевидно, неподвижной точкой преобразования. [20]
Таким образом, с точностью до аффинного преобразования пространства все положительно определенные эрмитовы метризации n - мерного векторного пространства совпадают друг с другом. [21]
Последовательное выполнение аффинных преобразований пространства является аффинным преобразованием пространства. [22]
Наконец, если все три коэффициента сжатий аффинного преобразования пространства совпадают то направлениями этих сжатий могут служить любые три взаимно перпендикулярных направления. Очевидно, в этом случае аффинное преобразование есть преобразование подобия. [23]
Это семейство % определенное с точностью до аффинного преобразования пространства С / п, мы назовем фазовым изображением семейства 7 или ег 5 семейства 7 приведенной ( редуцированной) формой. В приведенных выше примерах ( 77 является многогранником для конечных П, лучом и 0 для семейства примера 1 и внутренностью параболы и ( i) 2 для семейства нормальных законов. [24]
Если рассматривать ( 18) как формулы аффинного преобразования пространства А ( Г), мы получим следующую теорему. [25]
Это означает, что в самом общем случае аффинное преобразование пространства трех измерений представляет собой совокупность поступательного перемещения, вращения и трех взаимно перпендикулярных сжатий пространства. Сжатие плоскости ( пространства) к прямой ( плоскости), называемой осью ( плоскостью) сжатия, представляет собой преобразование, при котором точка М переходит в точку М, расположенную по ту же сторону на одном и том же перпендикуляре к оси ( плоскости) сжатия, причем расстояние от оси ( плоскости) сжатия при преобразовании изменяется для всех точек в k раз, где k - положительное число. [26]
Линейное преобразование вместе с последующим преобразованием сдвига составляют аффинное преобразование пространства Rn. Несмотря на то, что в примерах мы ограничимся преобразованиями на плоскости, то есть из R2 в R2, все результаты легко обобщаются на случай n - мерного пространства. [27]
Как и в случае плоскости, основным инвариантом аффинного преобразования пространства служит простое отношение трех точек. [28]
Как видно из примера сжатия пространства к плоскости, аффинное преобразование пространства Е может сохранять длины одних отрезков и изменять длины других. [29]
В полной аналогии со случаем плоскости доказываются следующие свойства аффинных преобразований пространства. [30]