Cтраница 2
Стало быть, постоянное отношение площадей Г: F при любом аффинном преобразовании равно определителю преобразования. [16]
Линия второго порядка, принадлежащая к одному из аффинных классов, при любом аффинном преобразовании может перейти только в линию того же класса. [17]
Если в аффинном пространстве введены однородные координаты, то, как нетрудно проверить, любое аффинное преобразование задается формулами вида ( 4) § 1 и любое преобразование вида ( 4) § 1 с невырожденной матрицей коэффициентов является аффинным. Если сравнить формулы ( 4) § 1 с формулами ( 1) настоящего параграфа, то будет ясно, что аффинные преобразования пространства Д можно считать частным случаем проективных преобразований в пополненном аффинном пространстве, то есть в Рп. Именно, аффинными можно считать все преобразования вида ( 1), которые сохраняют бесконечно удаленные точки в качестве бесконечно удаленных. [18]
Заметим, что из теоремы 8.6 вытекает следующее интересное свойство кривой (8.14): при любых аффинных преобразованиях К2Ч 1, сохраняющих объем, ее длина может только увеличиться. [19]
Поскольку эллипс ограничен и состоит больше чем из одной точки, он должен перейти в эллипс при любом аффинном преобразовании. [20]
Так как общее аффинное преобразование может быть представлено в виде произведения примитивных преобразований, то этим же свойством обладает любое аффинное преобразование. При аффинном преобразовании плоскости отношение площади преобразованного треугольника к площади исходного треугольника есть постоянная величина, не зависящая от треугольника и полностью определяемая коэффициентами преобразования. [21]
Так как определение центра масс дается в терминах аффинной геометрии, то c ( gM) gc ( M) для любого аффинного преобразования g пространства S. В частности, если подмножество М инвариантно относительно какого-либо аффинного преобразования, то его центр масс является неподвижной точкой этого преобразования. [22]
Аналогичное предложение имеет место для аффинного преобразования в пространстве. Именно, любое аффинное преобразование в пространстве может быть разложено на три равномерных сжатия ( растяжения) по трем взаимно перпендикулярным направлениям и ортогональное преобразование. [23]
Общая форма кривой повторяет форму определяющего многоугольника. Чтобы применить к кривой любое аффинное преобразование, необходимо применить его к вершинам определяющего многоугольника. Кривая лежит внутри выпуклой оболочки определяющего многоугольника. [24]
Этот результат показывает, что аффинные преобразования, переводящие эллипсоид в себя, индуцируются ортогональными преобразованиями, оставляющими точку пространства на месте. Этим разложением индуцируется соответствующее разложение любого аффинного преобразования, переводящего эллипсоид в себя. [25]
Обратим внимание на тонкое, но существенное, различие между двумя последними формулировками: в то время как в первой формулировке мы говорим об отношении площади одной фигуры ( эллипса) к площади другой фигуры ( параллелограмма), во второй формулировке речь идет об отношении площадей этих фигур. Поскольку согласно предложению 1 при любом аффинном преобразовании площади всех фигур умножаются на одно и то же число, не зависящее от фигуры, то для любых двух фигур X и Y отношение их площадей аффинно инвариантно. Таким образом, вторая из приведенных выше формулировок имеет смысл в аффинной геометрии, тогда как первая - только в эквиаффинной. [26]
Следовательно, перпендикулярным диаметрам окружности соответствуют сопряженные диаметры эллипса. В проективной геометрии доказывается, что для любого аффинного преобразования плоскости существуют такие два взаимно перпендикулярные, так называемые главные направления, которые переходят снова во взаимно перпендикулярные. [27]
Эллипс - ограниченная линия йторого порядка, а кроме эллипсов ограничены только линии, состоящие из одной-единственной точки - пары мнимых пересекающихся прямых. Поскольку эллипс ограничен и состоит больше чем из одной точки, он должен перейти в эллипс при любом аффинном преобразовании. [28]
Эллипс-ограниченная линия второго порядка, а кроме эллипсов ограничены только линии, состоящие из одной-единственной точки - пары мнимых пересекающихся прямых. Следует напомнить, что окружность мы условились относить к классу эллипсов. Поскольку эллипс ограничен и состоит больше чем из одной точки, он должен перейти в эллипс при любом аффинном преобразовании. [29]