Cтраница 2
Так как треугольники равносторонние, то из равенства двух сторон этих треугольников следует, что все стороны этих треугольников равны друг другу и, следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. [16]
Решение обеих задач рекомендуется выполнить читателю. При анализе признаков равенства треугольников обращают на себ. [17]
Эта задача имеет решение, если большая из сторон меньше суммы двух других. Единственность решения следует из третьего признака равенства треугольников. [18]
Следовательно, эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, а значит, CD ХВ. [19]
Признаки равенства трехгранных углов. Существуют признаки равенства трехгранных углов, аналогичные признакам равенства треугольников в планиметрии, которые выражаются следующими теоремами. [20]
Из рассуждений, приведенных в части а) решения, следует, что ВО ОС. Следовательно, треугольники АВО и АСО равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому луч АО является биссектрисой угла А. Но в равнобедренном треугольнике ABC биссектриса угла А является медианой и высотой. Таким образом, прямая О А проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему. [21]
Тогда у вновь полученного треугольника А В С и треугольника А В С будут две пары равных сторон и равные углы, заключенные между равными сторонами. Треугольники А В С и А В С равны по признаку равенства треугольников, исходные же треугольники подобны. [22]
Все три признака равенства треугольников обычно доказываются в начале изучения систематического курса планиметрии. Общеизвестно, с какими большими трудностями сталкиваются шестиклассники при доказательстве третьего признака равенства треугольников. Анализ ныне действующих программ и учебных пособий по геометрии показывает, что в начале шестого класса необходимо изучить только первый и второй признаки равенства треугольников, с помощью которых ведется доказательство всех последующих теорем. Доказательство третьего признака равенства треугольников и всех трех признаков подобия треугольников выполняется достаточно просто с применением теорем косинусов и синусов. [23]
Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Поэтому, если основание и прилежащий к нему угол одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого равнобедренного треугольника, то равны также два других угла, прилежащих к этим основаниям, и, следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. [24]
Имея сторону и все три угла, по теореме синусов находим две остальные стороны. Задача всегда имеет решение и притом единственное. Единственность решения следует из второго признака равенства треугольников. [25]
Ортогональные матрицы появляются также в связи с отображениями. Именно, линейное отображение евклидова пространства в себя называется ортогональным, если при этом отображении длины векторов не изменяются. Так как при таком отображении любой треугольник переходит в равный треугольник по так называемому третьему признаку равенства треугольников, то и все углы при этом сохраняются. Ортогональное отображение может быть либо движением всего пространства как целого, либо комбинацией движения и зеркального отражения. [26]
Все три признака равенства треугольников обычно доказываются в начале изучения систематического курса планиметрии. Общеизвестно, с какими большими трудностями сталкиваются шестиклассники при доказательстве третьего признака равенства треугольников. Анализ ныне действующих программ и учебных пособий по геометрии показывает, что в начале шестого класса необходимо изучить только первый и второй признаки равенства треугольников, с помощью которых ведется доказательство всех последующих теорем. Доказательство третьего признака равенства треугольников и всех трех признаков подобия треугольников выполняется достаточно просто с применением теорем косинусов и синусов. [27]
С таким положением мы встречаемся довольно часто. Исследуя общие свойства подобных треугольников, мы в действительности не делаем никакого различия между любыми треугольниками, которые имеют одинаковые углы. С точки зрения свойств, сохраняющихся при подобном преобразовании, эти треугольники неотличимы и могли бы быть названы равными. Исследуя признаки равенства треугольников, мы не делаем никакого различия между треугольниками, которые расположены в разных местах плоскости, но могут быть совмещены при их перемещении. [28]
Ошибка этого рассуждения заключается в использовании недосказанного утверждения: оно молчаливо предполагает, что точки С и С различны. Приводимое рассуждение не исключает того случая, когда точки С и С совпадают, а это сводит на нет всю его доказательную силу. Автор использует признак равенства треугольников так, словно у него есть 2 треугольника ABC и ABC, хотя существование треугольника ABCf еще требуется доказать. Впрочем, этот пробел легко восполнить. Кроме того, у тех, кто прочитает доказательство, приводимое автором учебника, не остается сомнения в правильности утверждения. Доказательство обладает силой убеждения лишь потому, что утверждение теоремы и без всякого доказательства отвечает нашей геометрической интуиции. [29]
Все три признака равенства треугольников обычно доказываются в начале изучения систематического курса планиметрии. Общеизвестно, с какими большими трудностями сталкиваются шестиклассники при доказательстве третьего признака равенства треугольников. Анализ ныне действующих программ и учебных пособий по геометрии показывает, что в начале шестого класса необходимо изучить только первый и второй признаки равенства треугольников, с помощью которых ведется доказательство всех последующих теорем. Доказательство третьего признака равенства треугольников и всех трех признаков подобия треугольников выполняется достаточно просто с применением теорем косинусов и синусов. [30]