Cтраница 2
В § 4.4 были приведены признаки сходимости ряда Фурье. [16]
Мы теперь в состоянии перенести все обычные признаки сходимости рядов Фурье на интегралы Фурье. [17]
Точно так же много общего и в признаках сходимости рядов с положительными членами и интегралов с положительной подынтегральной функцией. Сейчас мы приведем признак, позволяющий в некоторых случаях сводить вопрос о сходимости ряда к вопросу о сходимости соответствующего несобственного интеграла; может оказаться, что этот последний вопрос будет более простым. [18]
Установленное нами условие дает чрезвычайно мощный в практическом отношении признак сходимости знакопостоянных рядов; для подавляющего большинства конкретно встречающихся в анализе и его приложениях рядов сходимость устанавливается прямым или косвенным применением этого признака. [19]
Сравнивая данный ряд с геометрической прогрессией, мы получим два основных признака сходимости рядов с положительными членами. [20]
Сходящиеся ряды с положительными членами представляют частный случай абсолютно сходящихся рядов, признаки сходимости которых получаются непосредственно из признаков сходимости рядов с положительными членами. [21]
Следует иметь в виду, что пользоваться критерием Коши на практике обычно затруднительно, поэтому рассматривают более простые в смысле их практического приложения, но зато более узкие признаки сходимости рядов. [22]
Если же в формуле ( 19) R 1, то ряд ( 18) может сходиться только на сегменте [-1,1], причем для установления факта сходимости в этом случае о последовательности Ьп необходимо знать несколько более, чем выполнение условия ( 19) при R 1, ибо в этом случае ряд ( 18) фактически является рядом по косинусам, и поэтому необходимо применять признаки сходимости рядов по косинусам. [23]
Действительно, ряды с отрицательными, точнее с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем - 1, и вследствие этого такие ряды ведут себя одинаково относительно сходимости. Рассмотрим признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. [24]
Первоначально класс V [ а, Ь ] был введен К. Жорданом в связи с обобщением Дирихле признака сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. Жор-дан доказал, что ряды Фурье 2я - периодич. V [ 0, 2л ] сходятся в каждой точке действительной оси. [25]
Весьма чувствительный признак Маклорена - Коши ( см. § 3 главы 3) оказывается, наоборот, недостаточно практичным. Теоретически интересно и практически полезно ввести в употребление признаки сходимости рядов столь же или почти столь же практичные, как и признак Даламбера, но существенно более чувствительные. [26]
Предположим, что / интегрируема на любом конечном интервале и поведение / около оо таково, что (1.1) и (1.2) сходятся, например, абсолютно. Важен тот факт, что если / удовлетворяет локально некоторому признаку сходимости рядов Фурье, то S ( x, f) - / ( х) при со-оо. [27]
В § 4.4 были приведены признаки сходимости ряда Фурье. Сейчас мы сформулируем признак сходимости ряда Фурье в смысле среднего квадратического. [28]
Малая чувствительность признака сходимости Даламбера объясняется ( ср. Вместе с тем нам уже известны ( см. § 4 главы 3) весьма медленно сходящиеся, а также и весьма медленно расходящиеся ряды. Естественно попытаться построить признаки сходимости рядов, основанные на сравнении их членов с членами этих вяло развивающихся рядов. Такая конструкция была предложена Куммером. [29]
Во многих практических задачах принципиальное значение имеет ответ на первый вопрос. Поэтому мы основное внимание уделим вопросу установления признаков сходимости рядов. [30]