Применение - дифференциальное исчисление
Cтраница 1
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производных, прежде всего ее первой производной. [1]
Метод применения дифференциального исчисления к изучению различных процессов состоит в том, что данный процесс мы разбиваем на ряд коротких процессов, каждый из которых предполагаем протекающим равномерно. При этом приращение функции, определяющей ход явления, мы заменяем ее дифференциалом. [2]
В главе 8 описано применение дифференциального исчисления при определении цен, максимизирующих прибыль. [3]
Вторая часть посвящена изложению применений дифференциального исчисления к анализу и к высшей геометрии. Общую алгебру дифференциальное исчисление обогащает многими удобными средствами для нахождения корней уравнений, для изучения и суммирования рядов, для определения значений выражений, которые в некоторых случаях кажутся неопределенными, и для других целей. Высшая геометрия также многое приобретает благодаря дифференциальному исчислению; с его помощью можно определять с изумительной легкостью касательные кривых линий и их кривизну и решать многие другие вопросы, как, например, задачу о лучах, отраженных от кривых линий или преломленных ими. Хотя этим можно было бы заполнить обширнейший трактат, но я постараюсь, несколько это возможно, изложить все кратко и ясно. [4]
Так как нам нужно показать применение дифференциального исчисления в общем анализе и в учении о рядах, то здесь придется привести некоторые вспомогательные сведения из общей алгебры, которые обычно не излагаются. Хотя большая их часть уже рассмотрена нами во Введении, однако кое-что мы там опустили, отчасти потому, что считали более удобным изложить это тогда, когда в этом будет необходимость, а отчасти потому, что нельзя было предвидеть все, что нам позднее понадобится. Сюда относится преобразование рядов, которому мы посвящаем эту главу и с помощью которого какой-либо ряд можно преобразовать в бесчисленные другие ряды, которые все будут иметь одну и ту же сумму, так что если известна сумма предложенного ряда, то и остальные ряды можно будет тотчас же суммировать. На основе того, что будет изложено в этой главе, мы сможем в дальнейшем с помощью дифференциального и интегрального исчислений расширить учение о рядах. [5]
 |
Схематическое изображение зоны пониженной концентрации реагентов в реакторе вытеснения ( заштрихованная область. [6] |
Строго говоря, сам факт применения дифференциального исчисления предполагает, что катализатор можно рассматривать, как сплошную среду. Конечно, в действительности катализатор состоит из отдельных зерен, однако, ошибка при таком подходе, по-видимому, не очень велика, если на расстоянии, равном размеру зерна, температура и концентрация изменяются незначительно по сравнению с их абсолютными величинами. [7]
Мы расскажем еще об одном применении дифференциального исчисления к учению о рядах, а именно, о применении его к самому образованию рядов. Мы ужо упоминали об этом, когда речь шла о разложении в ряд дроби, знаменатель которой есть степень какой-либо функции. Этот метод сходен с тем, который мы уже применяли несколько раз, когда полагали функцию, разлагаемую в ряд, равной некоторому ряду, имеющему при отдельных членах неопределенные коэффициенты, которые затем должны быть определены из устанавливаемых равенств. Этот способ определения коэффициентов часто облегчается удивительным образом, если, прежде чем его применить, мы продифференцируем уравнение, введя первые, а иной раз и вторые дифференциалы. Так как этот метод имеет очень широкое применение в интегральном исчислении, то мы его изложим здесь обстоятельно. [8]
В девятой главе ( О применении дифференциального исчисления к решению уравнений) дается способ получения более точных значений корня уравнения по исходному грубому приближению. Идея, которую здесь использует Эйлер-представление искомого корня в виде ряда, расположенного по степеням разности между искомым корнем и исходным приближением, была широко использована впервые Ньютоном, а затем его английскими последователями, так что в этой главе мы не находим принципиально новых вещей. Но систематическое применение ряда Тэйлора и большое число примеров выгодно отличают лзложение Эйлера от изложения его предшественников. [9]
Работа Пуассона, по-видимому, - первый пример применения дифференциального исчисления для решения термодинамических задач. [10]
Работа Пуассона, по-видимому, является первым примером применения дифференциального исчисления для решения термодинамических задач. [11]
Наконец, последняя, восемнадцатая глава ( О применении дифференциального исчисления к разложению дробей) дает основанный на применении дифференцирования метод определения числителей простейших дробей, на которые разлагается рациональная дробь; предполагается, что корни знаменателя известны. Заметим что ни здесь, ни во Введении, где вопрос этот решался чисто алгебраическими способами, не дается доказательства возможности такого разложения. [12]
Однако можно привести много примеров таких функций, где экстремумы можно находить строго и без применения дифференциального исчисления. [13]
Мы еще вернемся к этому вопросу и в § 4 главы IV, где будут даны общие методы раскрытия неопределенностей уже с применением дифференциального исчисления. [14]
Термин составление непрерывных величин звучит как некая попытка дифференцирования. Необходимость применения дифференциального исчисления при решении математических задач непрерывно возрастала. Галилею самому такие методы были необходимы, и он пытался их разработать. Следующее поколение еще больше стало нуждаться в подобных методах, и не удивительно, что Ньютон и Лейбниц независимо изобрели дифференциальное исчисление. [15]
Страницы: 1 2