Cтраница 2
Определение предельных величин с помощью понятия производной позволяет использовать математический аппарат для доказательства экономических законов. Рассмотрим некоторые применения дифференциального исчисления в экономической теории. [16]
Пособие удовлетворяет требованиям новых государственных образовательных стандартов к минимуму содержания и уровню подготовки в области математики для социально-экономических направлений и специальностей и написано в соответствии с примерной программой дисциплины Математика, одобренной Научно-методическим советом по математике Министерства образования Российской Федерации. Пособие включает следующие девять разделов программы: Введение в математический анализ, Основы математической логики, Дифференциальное исчисление функций одной переменной, Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков, Неопределенный интеграл, Определенный интеграл, Функции нескольких переменных, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме обязательного материала автор счел необходимым включить в пособие главу, посвященную разностным уравнениям, широко используемым в экономической теории. [17]
Во втором издании внесены небольшие дополнения в текст. В частности, в связи с введением в школьные программы элементов высшей математики и возможностью соответственного изменения требований на вступительных экзаменах в вузы, некоторые вопросы освещаются дополнительно с применением дифференциального исчисления. Эти дополнения напечатаны мелким шрифтом. [18]
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций чрезвычайно важны для математики, физики и для других наук. В математике разработан мощный аппарат ( дифференциальное исчисление) для решения подобных задач. Применение дифференциального исчисления для нахождения наибольших и наименьших значений функций рассматривается в § 8 гл. VI, Тем не менее, иногда такого типа задачи элементарными средствами удается решить быстрее, проще и изящнее. [19]
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций чрезвычайно важны для математики, физики и для других наук. В математике разработан мощный аппарат ( дифференциальное исчисление) для решения подобных задач. Применение дифференциального исчисления для нахождения наибольших и наименьших значений функций рассматривается в § 8 гл. Тем не менее, иногда такого типа задачи элементарными средствами удается решить быстрее, проще и изящнее. [20]
Наряду с геометрией, механика была той областью науки, которой в первую очередь интегральное и дифференциальное исчисление обязано своим возникновением. Механика покоится на нескольких основных принципах, установленных Ньютоном; формулировка этих принципов требует введения понятия производной, а их использование возможно лишь с помощью теории интегрирования. Не вдаваясь в подробный анализ основных принципов, мы поясним на простых примерах применение интегрального и дифференциального исчисления в механике. [21]
В известных пределах подобные сопоставления могут иметь реальный смысл и практическое значение. И все же если речь идет о таких понятиях, как физический объем чистой продукции и общий уровень цен, то надлежащее место для их использования - это сфера исторического и статистического описания. Утверждение о том, что чистая продукция теперь больше, а уровень цен ниже, чем десять лет назад или, допустим, год назад, носит такой же характер, как и утверждение, согласие которому королева Виктория была лучшей королевой, но не более счастливой женщиной, чем королева Елизавета - суждение, не лишенное известного смысла и интереса, но не пригодное для применения дифференциального исчисления. [22]
В противоположность этому, формула центробежной силы может быть получена элементарным путем только ценой различных неточностей, которые находят свое истинное обоснование лишь в дифференциальном исчислении. А именно, уже определение центробежной силы нуждается, в сущности, даже в понятир второй производной, так что при элементарном выводе приходится исказить и последнее. Вследствие этого возникают - ввиду невозможности ясно выразить то, о чем идет речь, - огромные затруднения для понимания, которые при применении дифференциального исчисления совершенно не имели бы места. Мне не приходится входить здесь в детали. [23]
Тот факт, что два несоизмеримых между собой набора различных предметов сами по себе не могут служить объектом количественного анализа, не мешает, конечно, нам пользоваться приблизительными статистическими сопоставлениями; но мы прибегаем к ним не для точного подсчета, а для того, чтобы составить некоторые более общие суждения. В известных пределах подобные сопоставления могут иметь реальный смысл и практическое значение. И все же если речь идет о таких понятиях, как физический объем чистой продукции и общий уровень цен, то надлежащее место для их использования - это сфера исторического и статистического описания. Утверждение о том, что чистая продукция теперь больше, а уровень цен ниже, чем десять лет назад или, допустим, год назад, носит такой же характер, как и утверждение, согласие которому королева Виктория была лучшей королевой, но не более счастливой женщиной, чем королева Елизавета - суждение, не лишенное известного смысла и интереса, но не пригодное для применения дифференциального исчисления. [24]
Тот факт, что два несоизмеримых между собой набора различных предметов сами по себе не могут служить объектом количественного анализа, не мешает, конечно, нам пользоваться приблизительными статистическими сопоставлениями; но мы прибегаем к ним не для точного подсчета, а для того, чтобы составить некоторые более общие суждения. В известных пределах подобные сопоставления могут иметь реальный смысл и практическое значение. И все же если речь идет о таких понятиях, как физический объем чистой продукции и общий уровень цен, то надлежащее место для их использования - это сфера исторического и статистического описания. Утверждение о том, что чистая продукция теперь больше, а уровень цен ниже, чем десять лет назад или, допустим, год назад, носит такой же характер, как и утверждение, согласно которому королева Виктория была лучшей королевой, но не более счастливой женщиной, чем королева Елизавета, - суждение, не лишенное известного смысла и интереса, но не пригодное для применения дифференциального исчисления. [25]