Применение - интегральное преобразование
Cтраница 3
Второе издание книги существенно переработано и содержит ряд дополнений. В отдельные главы выделены интегральные уравнения 1-го рода и применение интегральных преобразований к решению интегральных уравнений. [31]
Метод Джонса более прост, так как основное функциональное уравнение метода Винера - Хопфа получается сразу после применения интегрального преобразования к уравнению в частных производных. [32]
Одним из эффективных методов определения аналитических решений краевых задач математической физики, в том числе задач нестационарной теплопроводности [89, 91] и задач взаимосвязанного тепло - и мас-сопереноса, является метод интегральных преобразований. Он имеет ряд преимуществ перед другими известными классическими методами. Применение интегральных преобразований с различными ядрами, во-первых, стандартизирует метод определения аналитического решения для широкого класса однотипных задач и при этом значительно упрощает промежуточные математические преобразования, во-вторых, позволяет находить решения при переменных внутренних источниках теплоты и усложненных граничных условиях, в-третьих, позволяет находить решения в виде, удобном для инженерных расчетов. [33]
Мы рассмотрим интегральные преобразования как с конечными, так и с бесконечными пределами. Применение интегрального преобразования ( 2 - 4 - 42) уменьшает число независимых переменных на единицу, причем полученные для изображений уравнения, как правило являются более простыми, чем исходные. [34]
Распространенные способы расчета случайных ошибок в динамических системах частотным методом связаны, как известно, с интегрированием спектральных плотностей. Получающиеся при этом соотношения позволяют определять лишь установившиеся значения характеристик случайных функций, оставляя открытым вопрос о поведении системы в переходном режиме. Применение многомерных интегральных преобразований позволяет снять это ограничение. Причем для стационарных линейных систем возможность анализа переходных процессов при случайных воздействиях не сопровождается сколько-нибудь заметным усложнением расчетных соотношений. [35]
Интегральные преобразования, рассмотренные в предыдущих параграфах, имеют бесконечные пределы интегрирования. Если преобразование Лапласа, как правило, применяется для решения нестационарных задач и производится по времени t, а поэтому пределы интегрирования от нуля до бесконечности становятся естественными, то интегральные преобразования Фурье, Ханкеля, Мелина и др. по пространственным координатам с бесконечными пределами интегрирования ограничивают возможности их применения. Отметим, что применение интегральных преобразований с конечными пределами интегрирования к дифференциальному оператору Лапласа второго порядка L [ T ( M, t) ] в уравнении теплопроводности позволяет в области изображений свести решение исходной задачи к решению задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. А это значительно облегчает решение основной задачи в целом. Однако следует отметить, что не всегда удается найти явный вид такого ядра интегрального преобразования, с помощью которого можно решить поставленную задачу. [36]
В настоящем параграфе рассматривается применение интегральных представлений к решению краевых задач для уравнения и, а. Ьи / ( х, t) ( где b и / могут быть тождественно равными нулю) в случае неограниченной прямой, полупрямой и конечного отрезка. Сначала даются задачи на применение интегрального преобразования Фурье. Затем идут задачи на построение функций источников ( функций Грина) и применение их к решению краевых задач. [37]
Главной особенностью томографии СРС является необходимость одновременного определения двух пространственных функций - коэффициента поглощения и коэффициента рассеяния СРС. Поэтому при использовании обычной томографической схемы регистрации проекционных данных для применения интегральных преобразований типа Радона в стационарном случае не хватает исходных данных. Эта ситуация аналогична случаю эмиссионной томографии в поглощающих средах, когда необходима одновременная реконструкция пространственных распределений не только источников излучения, но и коэффициента поглощения. [38]
В этом случае уравнение движения записывается в пространстве изображений, где аргументом является частота, а не время, поэтому затем необходимо перейти с помощью преобразований Фурье к уравнению в пространстве оригиналов, которое и используется для исследования, например, задач о переходном режиме. При этом результаты экспериментов, обычно получаемые в пространстве частот, можно использовать непосредственно, тогда как недостаток временного подхода состоит в том, что задачи, сформулированные во временном пространстве, приходится решать, используя теорию преобразований. Здесь следует отметить, что представления для обобщенных производных также требуют применения интегральных преобразований. [39]
 |
Кривые изменения давления.| Расчетная схема телескопи. [40] |
Конечно, в точной гидравлической постановке переход с одного диаметра на другой уже является неоднородностью с некоторым достаточно малым перепадом давления, которым при расчетах эксплуатационных режимов пренебрегают. Разбиение трубопровода на участки и решение системы дифференциальных уравнений, число которых равно числу отборов ( подкачек) и неоднородностей плюс 1, не может быть рекомендовано при решении задач оперативно-диспетчерского управления трубопроводными системами. Отборы ( подкачки) можно учесть в уравнении движения с помощью дельта-функции, а применение интегральных преобразований дает возможность свести задачу движения газа через неоднородности к решению интегральных уравнений Вольтерра II рода. [41]
В каждое функциональное уравнение типа уравнения (2.25), фигурирующее в методе Винера - Хопфа, входят по две неизвестные функции. В методе Джонса эти уравнения выводятся совершенно одинаковым путем и физический смысл неизвестных функций очевиден. В методе интегрального уравнения такой симметрии в самом интегральном уравнении нет, хотя она и появляется после применения интегрального преобразования. [42]
Таким образом, дальнейший анализ полученного уравнения не нужен. В методе Джонса неизвестные функции [ например, Н ( а) и Е ( а) в уравнении (2.81) ] входят симметрично и их физический смысл очевиден из определения. В методе интегральных уравнений такая симметрия сразу не очевидна и выявляется лишь после применения интегральных преобразований. [43]
Мы умышленно не рассматривали решения интегральных уравнений (2.59) и (2.63), полученных с помощью интегральных преобразований и эквивалентных интегральным уравнениям, решения которых были рассмотрены выше. Очевидно, что если мы применим к этим уравнениям преобразование Фурье, то вернемся к ранее полученным результатам. Этот процесс был бы просто обращением процесса получения интегральных уравнений. Конечно, не имеет смысла сначала с помощью интегральных преобразований выводить интегральные уравнения, а затем снова, применяя интегральные преобразования, проводить обратный процесс. Суть метода Джонса состоит именно в том, что функциональные уравнения Винера - Хонфа составляются из функций, полученных применением интегральных преобразований непосредственно к уравнению в частных производных без использования в качестве промежуточного шага интегральных уравнений. [44]
Далее применяют один из двух методов. Первый метод-нахождение аналитических выражений для кривых распределения потенциалов переноса путем приближенного решения дифференциальных уравнений переноса, например с помощью интегральных преобразований. Для нахождения системы критериев подобия служат дифференциальные уравнения переноса и условия однозначности. Иногда вводят также параметрические критерии, существенное влияние которых на процесс ожидается на основании дополнительных соображений, касающихся механизма или обстановки процесса. Такого рода параметрическими критериями при исследовании теплообмена между частицами и потоком газа в псевдоожиженном слое могут быть число псевдоожижения Nwф / wu y и отношение фактической потери давления в слое к теоретической ДР / ДРтеор - Число псевдоожижения карактеризует степень развития псевдоожижения, а ДР / ДРтеор отчасти отражает негомогенность псевдоожиженного слоя. Как показал А. В. Лыков, применение интегральных преобразований имеет большие перспективы и при использовании теории подобия, поскольку основной характер зависимости, существующий между безразмерными комплексами в изображениях, сохраняется и в оригинале. Многие принципиально нерешаемые сейчас нелинейные уравнения, например уравнения гидродинамики, можно решать в той мере, чтобы получить основную закономерность между интересующими параметрами в изображениях. А эта зависимость будет сохранена и в оригинале. [45]
Страницы: 1 2 3