Cтраница 4
Настоящий параграф посвящен одному из самых замечательных результатов теории вероятностей: при широких условиях суммы большого числа независимых малых случайных слагаемых имеют распределение, близкое к гауссовскому. Значение этого результата выходит далеко за рамки теории вероятностей. Он является теоретической основой применения гауссов-ского распределения при решении многих практических задач. Всегда, когда можно считать, что рассматриваемая величина является суммой малых независимых слагаемых, ее распределение мало отличается от гауссовского. [46]
После каждого отказа требуется некоторое время, называемое временем восстановления, чтобы найти отказавший элемент ( гл. VIII), исправить его или заменить и, возможно, осуществить некоторые профилактические меры. Поэтому время между отказами складывается из. Таким образом, предпосылки применения распределения Пуассона ( § 2.3) правильны, если временем восстановления после каждого отказа можно пренебречь по сравнению с продолжительностью исправной работы между отказами. [47]
Теперь допустим, что идеальный газ, состоящий из N молекул, находится в состоянии термодинамического равновесия. Применение распределения Гиббса к молекуле газа опять даст распределение (96.1) или (96.3), которое и называется квантовым распределением Больцмана. Имеется существенное различие в применении распределения Больцмана к локализованным слабо взаимодействующим частицам и молекулам идеального газа: для слабовзаимодействующих частиц распределение Больцмана выполняется строго, а для молекул идеального газа это распределение выполняется с известной точностью. [48]
В этом случае p ( t) не существует в обычном смысле. Но применение распределений Шварца и обобщенных преобразований Фурье имеет свои преимущества. [49]
Наконец, необходимо сделать следующее замечание по поводу круга вопросов, для решения которых можно применять распределение Гиббса. Мы все время говорили о последнем как о статистическом распределении для подсистемы, каковым оно в действительности и является. Весьма важно, однако, что это же распределение можно с полным успехом применять и для определения основных статистических свойств замкнутых тел. В последнем случае, однако, тело становится подсистемой, и распределение Гиббса применимо к нему буквально. Отличие замкнутого тела от незамкнутого проявляется при применении распределения Гиббса по существу лишь при рассмотрении сравнительно мало интересного вопроса о флуктуациях полной энергии тела. Распределение Гиббса дает для средней флуктуации этой величины отличное от нуля значение, которое для тела, находящегося в среде, имеет реальный смысл, а для замкнутого тела-совершенно фиктивно, так как энергия такого тела по определению постоянна и не флуктуирует. [50]
И, кроме того, если бета больше, то она достаточно быстро убывает. И, во-вторых, моменты порядка - целая часть параметра бета - обращаются в бесконечность для этого степенного распределения. Таким образом, соответствующий случайный процесс должен совершать гигантские выбросы, чтобы набрать такую дисперсию. Действительно, существует такая северная горная река Тура, которая протекает в Эвенкийском Национальном округе, в горах, между реками Енисеем и Леной, и для нее оценка параметра бета равна 2 63, т.е. имеют место гигантские выбросы. Вообще говоря, применение степенного распределения в корне меняет въевшееся в плоть и кровь представление о надежности и риске. [51]
Подбор для данного статистического ряда теоретической кривой распределения и нахождения ее параметров в статистике называют выравниванием ( сглаживанием) статистических рядов. Основой выравнивания является выбор вида теоретической кривой распределения. При принятии гипотезы о виде теоретического распределения главным является понимание характера причин утраты работоспособности данным видом оборудования. Другими словами, вид теоретического распределения, как правило, должен выбираться заранее из соображений, связанных с существом рассматриваемых явлений. Экспериментальными данными подтверждается хорошее соответствие процессов, приводящих к внезапным отказам, экспоненциальному закону распределения, процессов чистого износа - нормальному закону. Процессы усталостного разрушения, а также процессы, представляющие собой совокупность видов разрушения ( усталостного, износа внезапных изменений свойств объекта и др.), могут быть описаны распределением Вейбулла. Универсальность применения распределения Вейбулла в задачах надежности обуславливается широкими возможностями вариации его формы. При выборе теоретического закона распределения необходимо помнить, что для выявления статистически значимых различий законов распределения требуется весьма большой объем информации, особенно для использования двух и более параметрических законов. Ориентировочно закон распределения можно выбрать по виду аппроксимации статистического ряда. [52]