Cтраница 2
Напомним, что этот фактор получается в результате применения теоремы Гаусса о распределении силовых линий от точечного заряда, окруженного шаровой поверхностью 54яг2, где г - радиус шара. [16]
В точке г О V Е обращается в бесконечность, и применение теоремы Гаусса требует осторожности. Правильнее в-этом случае было бы поступить так: в качестве объема интегрирования нужно выбрать объем, заключенный между двумя концентрическими сферическими поверхностями вокруг точечного заряда: одна из них имеет произвольный радиус т, а другая - бесконечно малый радиус. В таком объеме нет зарядов, и применение-теоремы Гаусса дает правильный результат. При этом поток вектора Е через сферическую поверхность радиусом т оказывается равным потоку ( но с обратным знаком) через поверхность с бесконечно малым радиусом. [17]
При наличии симметрии в некоторых случаях наиболее эффективным методом определения напряженности поля является применение теоремы Гаусса. [18]
Простота, с которой были решены рассмотренные задачи, может создать иллюзорное впечатление о силе метода, основанного на применении теоремы Гаусса, и о возможности находить с помощью этой теоремы решения многих других задач. [19]
Заметим, что при применении теоремы Гаусса имеется в виду учет всех зарядов как свободных, так и связанных. [20]
Наиболее общим методом расчета полей является метод интегрирования уравнений поля. Однако в ряде случаев можно использовать частные методы, которые позволяют проще и быстрее решить поставленную задачу. К ним относятся: метод наложения; метод, основанный на применении теоремы Гаусса; метод конформных преобразований; метод зеркальных изображений; графические и ряд других методов. [21]
Если теперь произвести суммирование по /, то отдельные интегралы образуют объемный интеграл по всему замкнутому пространству V. Пусть Sjh - граничная поверхность, общая для Vj и Vh. Для каждой поверхности Sik имеются два поверхностных интеграла, полученных в результате применения теоремы Гаусса как к Vj, так и к Vh. Sih, тангенциальные составляющие векторов Е и Н непрерывны, а нормали к поверхности направлены навстречу друг другу, то сумма внутренних интегралов равна нулю и, следовательно, в интеграле будут иметь значение только наружные границы. Это означает, что интегрирование ведется по поверхности S. [22]
Поскольку поле Е зависит от конфигурации всех зарядов, теорема Гаусса, вообще говоря, не дает возможности найти это поле. Однако в ряде случаев теорема Гаусса оказывается весьма эффективным аналитическим инструментом: она позволяет получить ответы на некоторые принципиальные вопросы, не решая задачи, а также находить и само поле Е, причем чрезвычайно простым путем. Рассмотрим несколько примеров, а затем сформулируем некоторые общие выводы о том, в каких случаях применение теоремы Гаусса оказывается наиболее целесообразным. [23]
Если формально воспользоваться теоремой Гаусса, то в силу того, что V - ( / C / 3) r0, поток вектора Е через сферическую поверхность оказывается равным нулю в противоречии с найденным в пункте ( а) результатом. В точке г0 выражение для Е обращается в бесконечность, и использование теоремы Гаусса требует осторожности. Правильнее в этом случае было бы поступить так: в качестве объема интегрирования выбрать объем, заключенный между двумя сферическими поверхностями, одна из которых имеет произвольный радиус г, а другая-бесконечно малый радиус вокруг точечного заряда. В таком объеме нет зарядов и применение теоремы Гаусса дает правильный результат. При этом поток вектора Е через сферическую поверхность радиусом г оказывается равным потоку через поверхность с бесконечно малым радиусом, но с обратным знаком. [24]
О, ибо напряженности полей удаленных зарядов направлены почти параллельно плоскости Р и в сумме дают нуль или почти нуль. По мере же удаления точки А от О параллельность эта нарушается, равнодействующая далеких зарядов увеличивается, а близких - уменьшается. В результате, как показывает непосредственное вычисление, напряженность результирующего поля всех зарядов бесконечной плоскости вовсе не меняется при удалении от этой плоскости. Вычисления этого мы приводить не будем, ибо результат его [ уравнение (4.4) ] был уже найден нами путем применения теоремы Гаусса. [25]
Очевидно, что если точка А близка к О, то равнодействующая всех зарядов плоскости в этой точке определяется почти исключительно зарядами, расположенными вблизи О, ибо напряженности полей удаленных зарядов направлены почти параллельно плоскости Р и в сумме дают нуль или почти нуль. По мере же удаления точки А от О параллельность эта нарушается, равнодействующая далеких зарядов увеличивается, а равнодействующая близких - уменьшается. В результате, как показывает непосредственное вычисление, напряженность результирующего поля всех зарядов бесконечной плоскости вовсе не меняется при удалении от этой плоскости. Вычисления этого мы приводить не будем, ибо результат его [ уравнение (4.4) ] был уже найден нами путем применения теоремы Гаусса. [26]
По мере же удаления точки Л от О параллельность эта нарушается, равнодействующая далеких зарядов увеличивается, а близких - уменьшается. В результате, как показывает непосредственное вычисление, напряженность результирующего поля всех зарядов бесконечной плоскости вовсе не меняется при удалении от этой плоскости. Вычисления этого мы приводить не будем, ибо результат его [ уравнение (4.4) ] был уже найден нами путем применения теоремы Гаусса. [27]
Закон Кулона в форме (2.2) и правило наложения электрических полей (2.7) в принципе позволяют рассчитать поле, создаваемое любой системой точечных зарядов. В случае непрерывного распределения заряда в пространстве суммирование в (2.7) следует заменить соответствующим интегрированием. Практически, однако, вычисление соответствующих сумм и интегралов часто представляет собой весьма трудоемкую математическую задачу. Поэтому был разработан целый ряд вспомогательных методов и приемов, упрощающих вычисление. Одним из таких практически важных и простых методов является применение теоремы Гаусса, краткий вывод которой мы приведем ниже. [28]
Очевидно, что если точка А близка к О, то равнодействующая всех зарядов плоскости в этой точке определяется почти исключительно зарядами, расположенными вблизи О, ибо напряженности полей удаленных зарядов направлены почти параллельно плоскости Р к в сумме дают нуль или почти нуль. По мере же удаления точки А от О параллельность эта нарушается, равнодействующая далеких зарядов увеличивается, а равнодействующая близких - уменьшается. В результате, как показывает непосредственное вычисление, напряженность результирующего поля всех зарядов бесконечной плоскости вовсе не меняется при удалении от этой плоскости. Вычисления этого мы приводить не будем, ибо результат его [ уравнение (4.4) ] был уже найден нами путем применения теоремы Гаусса. [29]