Cтраница 2
Случайная погрешность играет в большинетве случаев основную роль при анализе погрешности. Ее уменьшения можно достичь за счет применения случайных квадратурных формул ( в частности, метода противоположной переменной), расщепления и рулетки, которые очень просто реализуются, а также других приемов. Последние при вычислении характеристик стационарного распределения могут иметь специфические особенности. [16]
Отметим особенность выражения (1.85), состоящую в росте количества вычислений вместе с номером шага дискретизации из-за увеличения членов суммы, причем значения коэффициентов AjKt / при у / меняются для каждого i, что в общем случае не позволяет воспользоваться результатами вычислений на предыдущих шагах. Кроме того, имеются особенности в применении различных квадратурных формул. Например, применение формулы Симпсона должно чередоваться для нечетных узлов с каким-либо другим правилом, например с формулой прямоугольников или формулой трапеций. Возникают сложности при применении формул Гаусса, Маркова, Чебышева. Достаточно простым и во многих случаях эффективным является применение формулы трапеций. [17]
Первое из уравнений системы ( 15) может быть легко выведено и непосредственно, без обращения к полиномам Чебышева. Этот вывод, а также вычислительный метод, основанный на применении квадратурной формулы Мелера-Чебышева, были мною указаны в докладе на Всесоюзной конференции по вычислительной математике 22 - 26 января 1965 г. в Москве. [18]
Один из методов повышения точности решения уравнений Вольтерры II рода состоит в применении квадратурных формул высокого порядка точности. Следуя [255], рассмотрим эту возможность на примере использования семиточечных формул Ньютона-Котеса замкнутого типа. Для получаемых таким образом алгоритмов требуется задание начальных значений таблицы искомого решения. При этом для нахождения решения в последующих узлах необходимо решить лишь одно нелинейное уравнение. Предполагается, что гладкость функций f ( х) и К ( х, s, у) допускает применение соответствующих квадратурных формул. [19]
Указанная в этом параграфе литература позволит более основательно и подробно ознакомиться с теорией вопроса ( применение квадратурных формул к несобственным интегралам, формулы квадратур наивысшей алгебраической точности, связь узлов квадратурных формул с нулями ортогональных многочленов и др.), и практикой составления таблиц. [20]
Чтобы избежать этого, желательно преобразовать выражение для К ( х у) к виду, более удобному для применения квадратурных формул типа Гаусса. [21]
Чтобы избежать этого, можно предварительно преобразовать выражение для К ( х, у) к виду, более удобному для применения квадратурных формул типа Гаусса. [22]
Было ясно, что нельзя произвести замену независимых переменных так, чтобы область интегрирования G приобрела стандартный вид, где было бы возможным применение квадратурных формул высокого порядка точности. [23]
В результате исследований и практического опыта был найден третий путь, состоящий в использовании регуляризирующих свойств приемов дискретизации и позволяющий благодаря этому совместить достоинства первых двух подходов - помехоустойчивость методов регуляризации и простоту алгоритмов прямых методов дискретизации. Следует отметить, что и это направление в области методов решения уравнений Вольтерры I рода не лишено недостатков, поскольку при его реализации нецелесообразно и даже недопустимо применение точных квадратурных формул, а значит, и невозможно существенное повышение точности разрабатываемых конкретных методов. [24]
Это обстоятельство вполне объяснимо тем, что выбор информации исключительно в двух концах интервала значительно менее выгоден, чем разумный выбор ординат на всем интервале. Однако важное значение этого метода состоит в том, что часто гораздо легче определить функцию и ее производные в двух концевых точках интервала, чем вычислить значения функции в нескольких внутренних точках. Это, в частности, относится к случаю, когда неизвестная функция, для которой нет таблиц, определена дифференциальным уравнением. Поэтому применение квадратурной формулы ( 16) может дать эффективный метод решения заданного дифференциального уравнения ( ср. [25]
Для сферических и цилиндрических функций рассмотрены теоремы сложения, широко применяемые в теории атомных спектров, теории рассеяния, при расчетах ядерных реакторов. При изучении обобщенных сферических функций авторы вплотную подходят к теории представлений группы вращений и общей теории момента количества движения. В дальнейшем читатель может углубить свои знания по специальным функциям с помощью книг, в которых специальные функции исследуются методами теории групп. С точки зрения приближенных вычислений поучительно применение квадратурных формул типа Гаусса для вычисления сумм и построения приближенных формул для специальных функций. Заметим, что многие существенные для приложений вопросы, излагаемые в книге, либо слабо освещаются, либо совсем не затрагиваются в учебной литературе. [26]
Один из методов повышения точности решения уравнений Вольтерры II рода состоит в применении квадратурных формул высокого порядка точности. Следуя [255], рассмотрим эту возможность на примере использования семиточечных формул Ньютона-Котеса замкнутого типа. Для получаемых таким образом алгоритмов требуется задание начальных значений таблицы искомого решения. При этом для нахождения решения в последующих узлах необходимо решить лишь одно нелинейное уравнение. Предполагается, что гладкость функций f ( х) и К ( х, s, у) допускает применение соответствующих квадратурных формул. [27]