Cтраница 2
Пуанкаре на этом примере демонстрирует применение аксиомы сводимости Рассела. [16]
Несмотря на близость к полноте, трансформационная методология раскрутки / скрутки в ограниченной степени допускает автоматизацию, необходимую, как мы увидели в предыдущей главе, для жизнеспособных трансформационных систем. Рассматриваемые в этой главе преобразования осночаны на применении аксиом и теорем, устанавливающих равенство между выражениями и имеющими некоторую структуру определениями функций, отсюда проистекает термин алгебраическое преобразование. Оптимизация в связи с этим является следствием глубинного анализа, приводящего к теоремам, устанавливающим равенство между исходными, определенными пользователем функциями и их более эффективными версиями. [17]
При таком переносе все те обращения Кантора к аксиоме выбора или ее эквивалентам, которые имели место при рассмотрении множеств действительных чисел, сохраняются у него и при изучении точечных множеств. Более того, поскольку последние изучаются глубже, то число таких применений аксиомы увеличивается и они в ряде отношений становятся своеобразными. [18]
Если иметь в виду только математическую индукцию и пропозициональные функции, то можно заметить, что применение аксиомы сводимости возможно и для аргументов предметного содержания. [19]
Для этого с помощью аксиом А7 - АЮ построим стационарную верхнюю разметку схемы GM и затем применим правило П1 к каждому из распознавателей. F) имеет место ГгэФд ( Р), желаемое достигнуто. Применением аксиом А7 - A1U разметка снимается со схемы. [20]
Пуанкаре, как и Ришар, признает только объекты, а не классы, и потому не принимает возражение Шенфлиса. Биркгофом [93] в том, что понятие класса ограничивает обсуждение проблемы, однако мы не согласны с тем, что понятие класса ограничивает взгляды А. Пуанкаре не отрицает полезность непредикативных понятий и правил соответствия и демонстрирует применение аксиомы сводимости Рассела, допускающей существование иного способа задания элементов множества не через это множество. [21]
Наиболее известным примером служит аксиома параллельности. То обстоятельство, что все усилия всякий раз оказывались безуспешными, могло служить индуктивным аргументом в пользу независимости аксиомы параллельности, подобно тому как неудача всех попыток построить perpetuum mobile являлась индуктивным аргументом в пользу закона сохранения энергии. Творцы неэвклидовой геометрии извлекли тоже только следствия из предпосылки, противоположной аксиоме параллельности и утверждавшей, что через точку плоскости, лежащую вне данной прямой, можно провести целый пучок не пересекающих данную прямую прямых; при этом они констатировали, что в т о и области, которую им удалось исследовать, свободное применение прочих аксиом эвклидовой геометрии не порождает никакого противоречия. [22]