Cтраница 1
Применения аксиомы выбора или ее эквивалентов в классическом анализе настолько широки и многообразны, что их рассмотрение в чисто историческом плане реально не осуществимо - для этого потребовался бы пересмотр огромного числа рассуждений, нередко чрезвычайно запутанных, к тому же изложенных на математическом языке, порой довольно далеком от языка стандартных учебников нашего времени, и их описание с необходимыми пояснениями не вместилось бы в рамки большой книги. [1]
Выявляются применения аксиомы выбора или ее эквивалентов в рассуждениях Кантора, содержащихся в его первых работах по теории множеств. [2]
Исторические сведения о применениях аксиомы выбора начали появляться вскоре после того, как Цермело опубликовал ее формулировку, - в ходе полемики о ней. Такие сведения содержались в статьях Гобсона [ 21, Пеано [ 71, Харди [ 21, Рассела [3], Журдена [ 81, Цермело [3] и некоторых других. Помимо указаний на отдельные применения, уже тогда была подчеркнута их распространенность в математических рассуждениях, а Пуанкаре [ 2, с. [3]
Доказательство утверждения 2 достигается применением аксиомы выбора к семейству множеств Sn G е X: 0 л - - 2 -, где лею. [4]
Для тех, кого беспокоит применение аксиомы зависимого выбора в доказательстве корректности. [5]
Наиболее известным, чаще всего отмечаемым применением аксиомы выбора в работе К обоснованию учения о трансфинитных множествах, является следующее. [6]
Третий вывод состоит в том, что применения аксиомы выбора в классическом анализе не исчерпываются отмеченным дуализмом. В частности, метод последовательного деления промежутка пополам связан с другой ее версией, и названный метод как в рассмотренном виде, так и в более общей форме применялся и применяется в анализе в неизмеримо большем числе случаев, чем это представлено в книге Фихтенгольца. Отдельным таким применениям и посвящается следующий раздел. [7]
Во-вторых, как сказано, он заметил применение аксиомы выбора у Дедекинда, не захотел ею пользоваться, а решил, основываясь на придуманных им определениях понятий конечного и бесконечного множеств, иначе подойти к проблеме обоснования арифметики. [8]
Как сказано выше, мы не будем разбирать все применения аксиомы выбора у Дедекинда. Однако одно ее применение в [3] является интересным в историческом отношении, и пропустить его было бы вряд ли целесообразно. [9]
Интерес приведенного высказывания Беттацци заключается в том, что это - одно из первых возражений против применения аксиомы выбора в математических рассуждениях еще до явной формулировки этой аксиомы. Первое подобное возражение, сформулированное Пеано в 1890 г. [6], широко известно и не раз цитировалось. Возможно, Беттацци знал высказывание Пеано, но все же следует отметить некоторое различие их подходов. Последний, столкнувшись с необходимостью применить аксиому выбора в своих собственных рассуждениях и сначала применив ее [ 6, с. Его возражение выглядит несколько случайным, направленным лишь против конкретного рассуждения. Только после явной формулировки аксиомы выбора Цермело в 1904 г. и в ходе полемики по ее поводу Пеано вспомнил в 1906 г. о прежнем своем высказывании [ 7, с. Случайный характер его выступления против данной аксиомы в 1890 г. подтверждается тем, что до 1906 г. он не раз пользовался ею и лишь после работы [7] стал сознательно избегать ее. [10]
Йех начинает свою книгу 1973 г. об аксиоме выбора словами: Математик нынешнего поколения вряд ли считает применение аксиомы выбора спорным методом доказательства. Как о некотором результате ставших абстрактными алгебры и анализа и развития таких новых математических дисциплин, как теория множеств и топология, практически каждый математик узнает об аксиоме выбора ( или, по крайней мере, о ее наиболее популярной форме - лемме Цорна) в курсе лекций в высшей школе. [11]
В предисловии перечислено довольно много математических и историко-математических работ, в которых с той или иной степенью обстоятельности отмечены применения аксиомы выбора и ее эквивалентов в этом фундаментальном труде. [12]
Даже если не знать о базисах Гамеля или о необходимости аксиомы выбора для их построения, очевидно, что невозможно построить разрывное решение уравнения Коши без применения аксиомы выбора. Однако тот факт, что график любого разрывного решения уравнения Коши всюду плотен в R2 ( теорема 2.3), можно доказать без обращения к аксиоме выбора или базисам Гамеля. [13]
В то же время теорема Бэра для действительной прямой R, утверждающая, что R не является множеством первой категории, может быть доказана и без применения аксиомы выбора. Поясним, в чем тух дело. [14]
Более детальное рассмотрение книги Бореля [2] на предмет цермеловости ее содержания представляется целесообразным потому, что, во-первых, ее автор был одним из наиболее последовательных противников применений аксиомы выбора в математических рассуждениях; и хотя эта книга вышла из печати в 1898 г., но в ней уже тогда содержались элементы тех взглядов, которые он выставлял впоследствии против таких применений. [15]