Cтраница 2
Так что и в книге [1 ] Рассел не замечает подвоха в уайтхедов-ском определении умножения, хотя при переводе его на обычный язык ( у Уайтхеда оно было записано на языке Пеано), казалось бы, нельзя не заметить явного применения общей аксиомы выбора, а затем, поскольку Уайтхед, введя определение понятия мультипликативного класса, тут же ( молчаливо) принимает существование такого класса, что вслед за ним делает и Рассел, и эквивалентности форм В и С аксиомы выбора. Ни Рассел, ни Уайтхед не заметили этого. В то же время они усомнились даже в слабых версиях этой аксиомы, о чем говорилось чуть выше, а в [1 ] Рассел выразил сомнения в таких ее эквивалентах, как сравнимость любых кардинальных чисел и возможность вполне упорядочить всякое множество ( с. Кажется, лишь в 1906 г., уже в разгар полемики об аксиоме выбора, он мимоходом упомянул о своем сомнении в мультипликативной форме аксиомы выбора [ 2, с. [16]
Пока речь идет о простейших действиях с множествами, можно довольствоваться интуицией множеств, о которой мы говорили в начале книги. Однако образование множества всех множеств и другие патологические конструкции, применение аксиомы выбора и обсуждение континуум-гипотезы требуют более глубоких обоснований и более точного понимания того, что есть множество. Был предпринят аксиоматический подход в теории множеств. Эта система аксиом регулирует правила образования множеств, и по существу все множества строятся из пустого множества. По этим правилам не может возникнуть множество всех множеств. Здесь различаются аксиоматически множества и классы, п можно говорить о классе всех множеств. [17]
Он несколько модифицировал свое построение точечного множества мощности Хп отметил некоторые некорректности рассуждений Гобсона в связи с этим примером, но явно признал, что применение аксиомы выбора в его конструкции сохраняется. Для нас, разумеется, наибольший интерес представляет его отношение к этой аксиоме. Он берет ее в мультипликативной форме и утверждает, что она применяется в значительной части общепринятых математических рассуждений ( с. [18]
Признав, что Кантор доказал теорему о существовании счетного подмножества у всякого бесконечного множества с ее помощью, сам он предложил иное доказательство этой теоремы, полагая, что в нем она не нужна, и отметив его родство с дедекиндовским. Небезынтересно, что в сноске на с. Журден отметил применение аксиомы выбора в доказательствах Шредером и Цермело теоремы эквивалентности. Любопытно и еще одно замечание Журдена. Оно выражено им в не очень ясной форме и может быть истолковано так. Эту / ( х) он рассматривает, кажется, как некую совокупность однозначных функций множества. И тогда аксиома выбора, по нему, состоит в том, что существует однозначная функция F с тем же аргументом и такая, что F является членом класса функций / ( х) ( с. Про / ( х) он не говорит, принимает ли он ее существование как нечто очевидное или вводит как особое допущение. На его критике взглядов Гобсона относительно предписания для. [19]
Выделение нового принципа происходит на основе анализа способов рассуждений, реально применявшихся в математике, а оправданность его проистекает из потребности в нем при разработке науки и непротиворечивости следствий, вытекающих из него. Этим требованиям удовлетворял введенный Цермело принцип выбора: он применялся многими математиками, без него недоказуемы важные математические предложения ( таких Цермело указал только семь, но некоторые из них, вроде непустоты декартова произведения непустых множеств, лежат в основе целой теории), его применения не приводили к противоречиям. Особенно возмутило Цермело предложение Пеано объявить недоказанными те математические утверждения, которые получены с применением аксиомы выбора, поскольку последняя не содержится в числе принимавшихся им принципов математических рассуждений, и в связи с этим Цермело писал: Фундаментальные факты или проблемы изгонять из науки просто, ибо их нельзя согласовать с определенными принятыми принципами, но это было бы все равно, как если бы в геометрии мы запретили дальнейшую разработку теории параллельных, поскольку доказано, что соответствующая аксиома недоказуема. В действительности же принципы должны выводиться из науки, а не наука из раз и навсегда установленных принципов. [20]
Если читать следствие буквально, то в нем действительно налицо цермеловость, ибо Коши предлагает фиксировать только одну из вспомогательных функций. Но, судя по контексту, у него предполагается фиксированной и другая, а тогда последние из процитированных слов Коши можно интерпретировать, скорее, как его желание обеспечить задание последовательности ( б) по определенному правилу. Тем не менее, даже если принять такую интерпретацию, приходится признать, что Коши не удалось избежать применения аксиомы выбора при рассмотрении метода Лежандра: доказательство второй теоремы опирается у него на первую, полученную с помощью этой аксиомы. [21]
Картина здесь вполне аналогична той, которая имелась, например, при определении понятия предела функции. Но если ранее Фихтенгольц или непосредственно прибегал к аксиоме выбора, или явно ссылался на предшествующие рассуждения, содержавшие ее, как-то выделяя двойственность соответствующих определений и указывая на их равносильность, то в § 60, в котором сформулированы приведенные определения, об этом ничего не говорится. Единственным указанием на то, что дело и здесь обстоит так же, является малозаметная ссылка на § 33 ( в квадратных скобках в приведенной цитате), в котором как имелось применение аксиомы выбора, так и говорилось о равносильности двух рассмотренных там определений. Так же он поступает с определением непрерывности функции нескольких переменных. Создается впечатление, что автор сознательно хотел замаскировать необходимость применения аксиомы выбора в данном случае. [22]
В 1903 году вышла работа Кагана [39], в которой рассуждения Дена были существенно усовершенствованы, изложены более систематично и популярно. Эти работы ( в частности, [21], [24], [27]) позволили по-новому взглянуть на работу Дена, получить основной ее результат на основе прозрачных идей в современном изложении. Единственным недостатком их изложения было применение аксиомы выбора ( связанное с использованием рациональных базисов в поле действительных чисел; ср. Наконец, в [6] было дано переработанное доказательство Хадвигера, в котором рассмотрение всей числовой прямой R заменено рассмотрением конечных множеств; это позволило избежать применения аксиомы выбора. Доказательство теоремы Дена, данное в [6], по-видимому, является наиболее простым. [23]
Картина здесь вполне аналогична той, которая имелась, например, при определении понятия предела функции. Но если ранее Фихтенгольц или непосредственно прибегал к аксиоме выбора, или явно ссылался на предшествующие рассуждения, содержавшие ее, как-то выделяя двойственность соответствующих определений и указывая на их равносильность, то в § 60, в котором сформулированы приведенные определения, об этом ничего не говорится. Единственным указанием на то, что дело и здесь обстоит так же, является малозаметная ссылка на § 33 ( в квадратных скобках в приведенной цитате), в котором как имелось применение аксиомы выбора, так и говорилось о равносильности двух рассмотренных там определений. Так же он поступает с определением непрерывности функции нескольких переменных. Создается впечатление, что автор сознательно хотел замаскировать необходимость применения аксиомы выбора в данном случае. [24]
В 1903 году вышла работа Кагана [39], в которой рассуждения Дена были существенно усовершенствованы, изложены более систематично и популярно. Эти работы ( в частности, [21], [24], [27]) позволили по-новому взглянуть на работу Дена, получить основной ее результат на основе прозрачных идей в современном изложении. Единственным недостатком их изложения было применение аксиомы выбора ( связанное с использованием рациональных базисов в поле действительных чисел; ср. Наконец, в [6] было дано переработанное доказательство Хадвигера, в котором рассмотрение всей числовой прямой R заменено рассмотрением конечных множеств; это позволило избежать применения аксиомы выбора. Доказательство теоремы Дена, данное в [6], по-видимому, является наиболее простым. [25]