Cтраница 2
Фурье, могут обладать такими свойствами, как бесконечное число максимумов или минимумов, чего математики прежних времен не допустили бы, давая определение функции. В своих лекциях Риман приводил пример непрерывной функции, не имеющей производной; пример такой функции, данный Вейерштрассом, был опубликован в 1875 г. Математики не хотели вполне серьезно относиться к этим функциям и называли их патологическими, но современный анализ показал, насколько такие функции естественны. [16]
Взяв w - R ( г), аналогично предыдущему мы показали бы, что эта функция, непрерывная во неси плоскости, нигде не дифференцируема. Таким образом, мы видим, что весьма легко образовать примеры непрерывных функций комплексного переменкою, лишенных производных в каждой точке плоскости. Простота образования таких функций объясняется тем, что требование дпфференцируемости функции в точке по комплексному переменному гораздо более сильное, нежели по действительному переменному. [17]
Более того, не существует такого веса р ( х), чтобы любая непрерывная функция у ( х) разлагалась в равномерно сходящийся ряд по полиномам, ортогональным с этим весом. Фейером были построены примеры периодических непрерывных функций, у которых тригонометрический ряд Фурье в отдельных точках расходится. [18]
Это письмо, предположительно, опять идет с А.В. Вишневским, если он еще не уехал вчера. В письмо влагаю еще одно письмо от Бори ( в конверте не обнаружено), только что полученное. Меньшов знаменитую проблему, т.е. построил ли пример непрерывной функции, ряд Фурье для которой не сходится почти всюду, или же просто лишь пример функции, всякая подпоследовательность ряда Фурье которой расходится хотя бы в одной точке. [19]
Во всех признаках сходимости рядов Фурье, относящихся к непрерывным функциям, кроме самой непрерывности неизменно требовалось что-нибудь еще: то ли существование некоего интеграла, выполнение неравенства, наличие конечной производной, то ли ограниченность изменения функции, ее кусочная монотонность. Естественно возникает вопрос: не будет ли достаточно для сходимости ряда Фурье одной непрерывности породившей его функции. Bois-Reymond) дал отрицательный ответ на этот вопрос, построив пример непрерывной функции с расходящимся в некоторых точках рядом Фурье. [20]
Дирихле, относятся к очень широкому классу функций. В то время как первые допускают у функции бесконечное множество точек экстремумов, требуя существования непрерывной первой производной ( кроме, быть может, конечного числа точек), вторые ограничивают число экстремумов, но зато не предъявляют никаких требований к существованию производной. Любая из функций, употребляемых в анализе и в его применениях, удовлетворяет приведенным условиям. Вместе же они, безусловно, охватывают все возможные функции, какие только обычно могут встретиться, так что каждая такая функция представима своим рядом Фурье. Любопытно отметить, что для справедливости предложения о разложимости функции в ряд Фурье одной непрерывности недостаточно. Существуют примеры непрерывных функций, ряды Фурье которых расходятся в некоторых точках. [21]