Cтраница 2
Все эти примеры являются на самом деле примерами алгебр Хопфа. [16]
Отметим, что использование расширений основного поля в теореме 3.5. существенно: в упражнении 9 дан такой пример сепарэ-бельной алгебры А, что всякий Л - модуль вырожден. [17]
Если Л - конечномерная моноассоциативная алгебра, то 5 ( Л) е № 1Л; при этом включение может быть строгим, как показывает пример алгебр Ли, в которых Nil Л А. Ниже мы увидим, что в конечномерных альтернативных и йордано-вых алгебрах идеал Nil Л нильпотентен. В случае конечномерных коммутативных моноассоциативных алгебр идеал Nil Л может быть не нильпотентным ( Suttles D. A-566), однако вопрос о его разрешимости открыт. [18]
Алгеброй называется векторное Пространство X, в котором определена операция произведения ( обозначаемая звездочкой), которая сопоставляет любым двум векторам х и х из X третий вектор х Хч из X, Примером алгебры является алгебра яХл - матриц X пХп - матрицы с произведением x Xz [ x, Xi ], где [,] - коммутатор. [19]
Примером примальных алгебр являются кольца вычетов Z / Zp, p - простое число. Если А - примальная алгебра, то многообразие, порожденное А, состоит из всех булевых степеней алгебры А. Поэтому это многообразие как категория изоморфна многообразию всех булевых алгебр. Справедливо и обратное утверждение ( см. [41], гл. Многообразие, порождаемое прималь-ной алгеброй, задается одним тождеством. [20]
В силу следствий 2.3 Ь и 3.2 Ь каждая полупростая алгебра имеет конечный тип. В следующей главе будет дано несколько примеров алгебр, которые имеют конечный тип, но не являются полупростыми. Однако, как показывает следующий результат, такие алгебры являются исключительными. [21]
Идеал Nil Л называется ниль-радикалом алгебры А. Nil Л; при этом включение может быть строгим, как показывает пример алгебр Ли, в которых Nil А А. Ниже мы увидим, что в конечномерных альтернативных и йордано-вых алгебрах идеал Nil Л нильпотентен. В случае конечномерных коммутативных моноассоциативных алгебр идеал Nil Л может быть не нильпотентным ( Suttles D. A-566), однако вопрос о его разрешимости открыт. [22]
Введенная абстрактная алгебра кватернионов допускает различные интерпретации. Для того чтобы понять, чем абстрактное определение отличается от интерпретации, обратимся к примеру алгебры комплексных чисел. [23]
Иногда ( обычно при некоторых дополнительных предположениях) биалгебры называют алгебрами Хопфа. Это связано с тем, что аналогичное понятие в категории градуированных алгебр впервые рассмотрел Хопф на примере алгебры когомо-логий группы Ли. Естественно определяются гомоморфизмы и изоморфизмы биалгебр. [24]
Основные арифметические действия - сложение и вычитание, умножение и деление - первоначально выполнялись только над натуральными числами; начав с целых чисел, постепенно расширяли числовую область, вводя отрицательные числа и дроби. Все эти числа удовлетворяют основным постулатам алгебры и, таким образом, алгебраические действия над ними выполняются одинаково. В 1859 английский математик Кели значительно расширил область алгебры, показав, что и матрица, хотя она и состоит из системы величин, может быть рассматриваема как единый алгебраический символ, который удовлетворяет всем постулатам обычной алгебры, за исключением переместительного закона умножения. Таким образом, алгебра матриц представляет собой пример некоммутативной алгебры. Матричная алгебра отличается, однако, еще одной чертой от обычной алгебры. [25]
Таким образом, множество 3) ( 31) замкнуто относительно отображения D - Dp, так же как и относительно обычных операций алгебры Ли. Аналогично пусть 31 - ассоциативная алгебра и с - с - антиавтоморфизм в St. Как мы знаем, подмножество 8 a a. Кроме того, в случае, когда характеристика равна р, из условия а - - а следует, что ар ар - ( - а) р - - ар. Ли, замкнутую относительно - отображения. Только что рассмотренные системы 3) ( 31) и и являются примерами ограниченных алгебр Ли, которые будут определены нами абстрактно. [26]
А, для к-рой Алгебра наз. Антисимметричными являются, в частности, алгебры аналитич. A, вещественная на S, постоянна на этом множестве. Согласно этому определению алгебра А антисимметрична, если все X являются множеством антисимметрии. Каждое максимальное множество антисимметрии является пересечением множеств пика ( множество Р наз. Если X есть пространство максимальных идеалов алгебры А, то максимальные множества антисимметрии связны. Вместе с тем изучение произвольных алгебр А не может быть сведено к аналитическим алгебрам: существует пример алгебры типа R ( X) ( замкнутой подалгебры алгебры С ( Х)), не совпадающей с С ( Х), антисимметричной и регулярной. [27]