Cтраница 4
Для завершения доказательства теоремы необходимо проверить лемму. Однако, если попытаться применить принцип индукции в том виде, который сформулирован в § 6.2, мы убедимся, что в доказательстве откроется дырочка. Позже посмотрим, к какой проблеме может привести такое доказательство. [46]
Для Яп гформул при ге1 истинность конъюнкций и V-формул определяется обычным образом через истинность компонент, а истинность импликации А В означает выводимость В из Л по нек-рым правилам Sn, о к-рых уже доказано, что они сохраняют истинность Я - формул. Системы Sn содержат ео-пра-вило, а в качестве аксиом - все истинные Я - формулы. Понятие выводимости в Sn вводится обобщенным индуктивным определением, а для доказательства мета-теорем применяется соответствующий принцип индукции. Системы Sn 3, ri i, состоят из обычных правил для рассматриваемых связок, включая ш-правило. Оказывается, что почти нормальная формула А истинна по Маркову тогда и только тогда, когда примитивно рекурсивное дерево Т д поиска вывода формулы А без сечения ( но с ш-правилом и принципом Маркова) является выводом в смысле индуктивного определения. В мажорантной семантике Н. А. Шанина для каждой почти нормальной формулы А определяется трансфинитная иерархия Ла формул простой структуры, причем Аа эА доказуемо в подходящей формальной системе. А, и А считается истинной формулой ранга а, если Аа верна. [47]
Описанный нами сейчас эксперимент по электролитической диссоциации можно осуществить не только с помощью тока, полученного от гальванического элемента, но с тем же успехом с помощью тока, происходящего при разряде, имеющем место, когда два противоположно заряженных металлических тела соединяются проводником. Необходимо позаботиться, чтобы количества электричества, используемого при разрядах, были достаточно велики. Имеются устройства для накапливания электричества - так называемые конденсаторы, - действие которых основано на принципе индукции. Они позволяют получать столь мощные разряды, что в электролитическом элементе образуются измеримые количества разложенных веществ. [48]
Аксиомы этой системы образуют рекурсивное подмножество У, которое называется аксиомами Пеано. Эти аксиомы описывают простые свойства операции взятия следующего элемента N и рекурсивное определение сложения и умножения в терминах этой операции, а также включают систему аксиом, описывающих принцип индукции на N. Понятие формального доказательства берется из исчисления предикатов первого порядка. Полное описание арифметики Пеано ( которую иногда называют формальной теорией чисел) можно найти в любом учебнике по математической логике. Для наших целей нам необходимо знать следующий важный факт об арифметике Пеано, которому посвящена существенная часть доказательства Геделя. [49]