Cтраница 1
Принцип полной индукции: если какое-нибудь утверждение верно для единицы и если всякий раз, когда оно верно для какого-нибудь числа, оно верно и для следующего числа, то это утверждение верно для любого числа. [1]
Тогда принцип полной индукции в применении к данной совокупности формулируется следующим образом. [2]
По принципу полной индукции получаем, что X о. [3]
Прежде чем сформулировать принцип полной индукции в общем виде, разъясним его на следующем примере. [4]
В чем заключается принцип полной индукции. [5]
Благодаря указанной новой формализации принципа полной индукции наш подход к исключению связанных переменных при условии включения полной индукции становится совершенно аналогичным предыдущему. [6]
Формальное их доказательство требует применения принципа полной индукции. [7]
Среди арифметических аксиом недостает еще принципа полной индукции. Его можно рассматривать как трансфинитное арифметическое правило для образования аксиом, выражающее собою то обстоятельство, что какое-либо свойство St, присущее числу 1 и передающееся по наследству от х кх - - 1 для всех л:, присуще также и любому числу. Однако, если сформулировать сказанное в виде правила для образования аксиом, то вскоре оказывается, что его применение безусловно приводит к формальному противоречию, а это влечет за собой решительный отказ от неограниченного права на объективирование. [8]
Доказательства посредством применения математической индукции основаны на принципе полной индукции, являющемся одной из аксиом в теории натуральных чисел. Общая формулировка этой аксиомы такова: если некоторое предложение А верно для п - I и если из предположения о том, что оно верно для натурального числа n k ( k 1), вытекает, что А верно и для n ( k), то предложение А верно для любого натурального числа. [9]
Этот выход происходит в связи с обоснованием одного конкретного обобщения принципа полной индукции. [10]
Процесс постепенного перехода от п к п - -, порождающий последовательность натуральных чисел, приводит к одному из важнейших математических методов доказательства, принципу полной индукции. [11]
Свойства натуральных чисел могут быть выведены из пяти аксиом Пеано; 1) 1 есть натуральное число; 2) для каждого натурального числа N существует единственное следующее за ним натуральное число S ( n); 3) 8 ( п) - ф -; 4) из S ( n) S ( tn) следует п т и 5) имеет место принцип полной индукции. [12]
Эта аксиома носит название полной, или возвратной, И. Принцип полной индукции эквивалентен принципу обычной индукции. [13]
Следовательно, само определение является основой всеобщности, исходя из которой дальше идут, пользуясь полной индукцией. Служащий для определения и вывода принцип полной индукции, приведенный не в виде формулы, а последовательно применяемый in concrete, представляет собой собственную и единственную силу математики, математическую праинтунцию. В этом пункте Броуер согласен с А. Отрицание какого-нибудь общего суждения о числах было бы некоторой теоремой о существовании, но так как последнее ничего не выражает, то общие суждения не могут быть отрицаемы. Точно так же общее суждение не указывает на какое-нибудь определенное само по себе существующее объективно обстояние, оно мыслится не как логическое произведение бесконечно многих единичных суждений, а как суждение гипотетическое, и оно дает нам определенное суждение лишь в применении к единичному, определенному заданному числу. [14]
Для любых п появляется необходимость в другом способе доказательства, в котором выполнение всех указанных этапов рассуждений не требуется. Этот способ доказательства основан на принципе полной индукции. [15]