Cтраница 2
Это неравенство на основании принципа максимума модуля аналитической функции справедливо также внутри треугольника А. [16]
Доказанное утверждение носит название принципа максимума модуля аналитической функции. [17]
В задачах 539 - 543 следует воспользоваться принципом максимума модуля. [18]
Тогда, применяя известный в теории аналитических функций принцип максимума модуля, видим, что / ( г0); А. [19]
Линдолефа, в несколько модернизированной форме, заключается в следующих двух положениях, последовательно расширяющих принцип максимума модуля. [20]
В самом деле, так как сходимость на границе - равномерная, то для всякого е 0 найдется такой номер N, что при п N, р 0 будем иметь) / n p ( z) - / n ( z) е для всех z на границе области, но тогда по принципу максимума модуля это неравенство справедливо на всей области и, следовательно, в силу критерия Коши последовательность / ( z) равномерно сходится на всей области. [21]
Согласно принципу максимума модуля g ( E) с А. Отображение g - на дД имеет, как легко проверить, модуль, равный единице. [22]
Коши равносильно условию ре ( г0) 0, или, что то же, требованию обращения в нуль интеграла типа Коши всюду вне С. Последнее заключение сделано на основании принципа максимума модуля аналитической функции, примененного к функции, изобразимой интегралом типа Коши вне С. Когда интеграл типа Коши обращается в интеграл Коши, то мы будем также говорить, что функция Р ( г), голоморфная внутри О, представима интегралом Коши, Возникает, вопрос, какие условия нужно наложить на граничную функцию у ( С) для того, чтобы соответствующий ей интеграл типа Коши обращался в интеграл Коши. [23]
Коши равносильно условию фе ( z0) 0, или, что то же, требованию обращения в нуль интеграла типа Коши всюду вне С. Последнее заключение сделано на основании принципа максимума модуля аналитической функции, примененного к функции, изобразимой интегралом типа Коши вне С. Когда интеграл типа Коши обращается в интеграл Коши, то мы будем также говорить, что функция F ( г), голоморфная внутри С, представима интегралом Коши. Возникает вопрос, какие условия нужно наложить на граничную функцию ф ( Р для того, чтобы соответствующий ей интеграл типа Коши обращался в интеграл Коши. [24]
Отсюда, повторяя соответствующую часть рассуждения, приведенного в пункте 4 § 1 главы I при доказательстве принципа экстремума для гармонической функции, заключаем, что f ( z) const всюду в D, а это исключено. Таким образом, допущение f ( z0) M неверно, и тем самым принцип максимума модуля доказан. [25]
Это, в свою очередь, влечет за собой многочисленные следствия. Например, если аналитическая в области D функция / не константа, то ее модуль f ( z) не может принимать максимальное значение внутри D - так называемый принцип максимума модуля. Вышесказанное позволяет указать причину. [26]
На окружности С /, функция ] Кя1 8 ограничена, тогда в силу ( 11) на ней и Кя1 Ц ограничена. В таком случае и внутри нее / Ся1) была бы ограничена тем же числом. Последнее устанавливается применением принципа максимума модуля к аналитической функции ф ( X) f ( Kb. Применяя теорему 4, мы получили бы, что Ki существует во всей окрестности, что приводит к противоречию. [27]
Пусть в области D существуют две голоморфные однолистные функции / и / 2, конформно отображающие D на Е, для которых, / ( г0) / 2 ( го) 0, arg / ( 20) arg / ( z0) a. D, имеет в D модуль, равный единице. Согласно принципу максимума модуля ф е р, где р - действительная постоянная. [28]
Применим еще принцип максимума к гармоническим функциям. Докажем, что функция и ( х, у) ф const, однозначная и гармоническая в области G, не может иметь ни максимума, ни минимума ни в одной точке области. Так как они не являются константами, то к каждой из них применим принцип максимума модуля. Поэтому значения [ Fl ( z0) еи ( х и Ру ( 20) е-и ( х У не могут быть максимальными; следовательно, значение и ( х0, у0) гармонической функции не может быть ни максимальным, ни минимальным. [29]