Cтраница 2
Сходимость последовательных приближений в этом случае вытекает из принципа сжимающих отображений. Не составляет затруднений переформулировать теорему 7.5 и в предположении, что правая часть системы (7.5) является обобщенным сжатием. Аналогичное замечание относится также к следующей теореме. [16]
Для разрешимости уравнения ( 6) относительно q применяется принцип сжимающих отображений. [17]
Следующий очень важный и общий критерий существования неподвижной точки широко известен как принцип сжимающих отображений С. Этот критерий позволяет установить не только существование неподвижной точки, но и ее единственность. По существу он дает достаточные условия существования единственной глобально устойчивой неподвижной точки. [18]
Следующий очень важный и общий критерий существования неподвижной точки широко известен как принцип сжимающих отображений С. Этот критерий позволяет установить не только существование неподвижной точки, но и се единственность. [19]
Поскольку сюда входит Якнорма 5Ь мы не можем надеяться на непосредственную применимость стандартного принципа сжимающих отображений. [20]
Описанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а иногда и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с так называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [21]
Описанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а иногда и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. [22]
Для интегральных уравнений 2-го рода существование и единственность решений устанавливаются при определенных условиях из принципа сжимающих отображений. В более сложных случаях нередко удается применить топологические методы, связанные с принципами неподвижной точки. [23]
Для доказательства следующего результата нам нужна приведенная ниже лемма, которую читатель может доказать применением принципа сжимающих отображений. [24]
Рассмотренный в предыдущем параграфе метод последовательных приближений основывается на общем математическом принципе, известном под названием принцип сжимающих отображений, основные идеи которого будут изложены в настоящем параграфе. [25]
Однако в случае интегрального уравнения Фредгольма мы были вынуждены ограничиться малыми значениями параметра К, а к уравнениям Вольтерра принцип сжимающих отображений ( и метод последовательных приближений) применим при всех значениях К. [26]
В этом пункте будут доказаны основные теоремы в полных мсгрических пространствах такие, как принцип вложенных шаров, теорема о категориях и принцип сжимающих отображений. Эти Теоремы имеют большое значение при изучении метрических пространств, а также чаще всего будут использоваться в дальнейшем. [27]
Если X - банахово пространство, то условие ( 1) есть не что иное, как условие Липшица для оператора F с константой, меньшей единицы. Принцип сжимающих отображений широко используется для доказательства существования и единственности решений алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений и для приближенного нахождения решений этих уравнений. [28]
Во второй главе изложена методика отыскания асимптотически устойчивых предельных режимов движения машинных агрегатов. С помощью принципа сжимающих отображений построен равномерно сходящийся итерационный процесс, позволяющий с любой степенью точности находить предельные режимы. Принципиальной особенностью данного метода, отличающего его от других методов, используемых в динамике машин, является то, что он совершенно не связан со случайным выбором начальных условий, величиной промежутка и шага интегрирования, а приближения к искомому режиму находятся в виде функций, определенных на всем промежутке изменения угла поворота главного вала. Исследованы характер и скорость сходимости итерационного процесса. Найдены удобные для инженерных расчетов формулы, позволяющие программировать весь процесс вычислений и на каждом шаге оценивать погрешности, с которыми получаемые приближения воспроизводят предельный режим. [29]
Принцип сжимающих отображений был применен для доказательства существования и единственности решения начальной задачи (2.187) для одного скалярного уравнения. С помощью принципа сжимающих отображений легко доказать аналогичную теорему и в случае нормальной системы. [30]