Cтраница 2
Напротив, отдельные вихревые нити вообще нельзя представлять себе бесконечно тонкими, потому что иначе скорости на противоположных сторонах нити получали бы бесконечно большие и противоположные значения, вследствие чего собственная скорость нити сделалась бы неопределенной 19 Но чтобы все-таки вывести некоторые общие заключения о движении весьма тонких нитей произвольного сечения, мы воспользуемся принципом сохранения живой силы. [16]
Таков, например, весьма известный и полезный в обыкновенной Статике принцип, согласно которому во всех соединениях, тел их общий центр тяжести опускается вниз настолько, насколько это возможно. Таким же является принцип сохранения живых сил. Строго говоря, никогда не было дано общего доказательства этих принципов; но никогда никто, привыкший судить о Науках и знакомый с индукцией, не сомневался в их истинности. Когда видят, что в тысяче случаев Природа действует некоторым определенный. [17]
Принцип живых сил обладает тем большим преимуществом, что он непосредственно дает конечное уравнение между скоростями тел и переменными величинами, определяющими их положение в пространстве; таким образом в том случае, когда согласно природе задачи все эти переменные могут быть сведены к одной переменной, этого одного уравнения оказывается достаточно для полного разрешения задачи; такой именно случай мы имеем в проблеме о центрах колебания. При этом вообще принцип сохранения живых сил всегда дает первый интеграл различных дифференциальных уравнений каждой задачи, что во многих случаях представляет большую выгоду. [18]
До сих пор этот принцип рассматривался только в качестве простой теоремы механики; однако после того как Иван Бернулли принял предложенное Лейбницем различие между мертвыми силами, или силами давления, не вызывающими реального движения, и живыми силами, при которых имеет место движение, а также его предложение измерять последнего рода силы произведением масс на квадраты скоростей, рассматриваемый принцип стал следствием теории живых сил и общего закона природы, согласно которому сумма живых сил нескольких тел остается неизменной, в то время как эти тела действуют друга на друга с помощью одних только сил давления, и равной той живой силе, которая получается в результате действия активных сил, приводящих тела в движение. Поэтому он дал указанному принципу название принципа сохранения живых сил и успешно применил его при разрешении некоторых задач, которые до тех пор еще не были решены и которые представлялось трудным довести до конца с помощью прямых методов. [19]
В 1738 г. им было представлено в Академию письмо на тему О принципе сохранения живых сил, более расширенном и примененном к вопросам астрономии. Его живо интересовали также некоторые нерешенные в то время вопросы, связанные с колебаниями маятника, со сжатием металлов, стекла и другие. [20]
Маклорен и Иван Бер-нулли взяли на себя выполнение этой задачи, один в своем Трактате о флюксиях, а другой - в своей Новой гидравлике, напечатанной в собрании его трудов. Их методы, хотя и сильно отличающиеся друг от друга, приводят к тем же выводам, что и принцип сохранения живых сил; следует, однако, признать, что метод Мак-лорена недостаточно точен и кажется наперед построенным в соответствии с теми выводами, которые было желательно получить; что касается метода Ивана Бернулли, то, не присоединяясь полностью к возражениям, высказанным против него Даламбером, следует сказать, что он оставляет желать лучшего с точки зрения ясности и точности. [21]
Почитатель Декарта и приверженец Гюйгенса, он не1 мог не включиться в спор о двух мерах движения. В 1686 г. Лейбниц выступает с трактатом Краткое доказательство примечательной ошибки Декарта и других относительно закона природы, согласно которому бос всегда сохраняет одно и то же количество движения и которым неправильно пользуются, между прочим, в механической практике. Здесь и в последующих трудах он; развивает взгляды Гюйгенса о векторном характере количества движения и принципе сохранения живых сил ( этот термин он введет в 1692 г.), расширяя последний; до всеобщего закона природы. [22]
По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание: Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отношениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить - ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам. [23]
Может быть, скажут, что в этом случае г. Мопертюи должен был воспользоваться словом живая сила вместо слова действие, ибо время, собственно говоря, здесь не играет роли. Если здесь заменить слово живая сила словом действие, все же окажется правильным, что г. Мопертюи первый свел удар твердых и упругих тел к одному закону; и это - самое главное; впрочем, и его теорема о преломлении ничего от этого не теряет. Безусловный факт, что общие законы движения были найдены без этого принципа, но, быть может, полезно показать, как он к ним применяется. Ясно, что, будучи так применен, этот принцип будет и может быть только каким-либо другим уже известным, но иначе изложенным принципом. Это не мешает принципу сохранения живых сил быть весьма полезным и делать честь его изобретателям. [24]