Cтраница 2
Для интегральных уравнений 2-го рода существование и единственность решений устанавливаются при определенных условиях из принципа сжимающих отображений. В более сложных случаях нередко удается применить топологические методы, связанные с принципами неподвижной точки. [16]
Далее в этой главе мы рассмотрим основные теоремы о существовании и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В основе всех этих теорем лежит один важный геометрический принцип анализа, называемый принципом неподвижной точки. [17]
В этих условиях неподвижная точка есть, но инвариантных отрезков, вообще говоря, нет. Поэтому ясно, что обобщение на бесконечномерный случай, если такое обобщение можно указать, не может быть основано иа непосредственном применении принципов неподвижной точки типа принципа Шаудера или принципа Тихонова - нужны новые топологические теоремы. [18]
В отображений этих подмножеств между собой удовлетворяют условиям теоремы 3.4.1. Принципы обратимости, композиции, ограничения, согласованности выполняются для пары ( HB SB в силу инверсности полугруппы В и определения представления ( р очевидным образом. Значит, дополнительными условиями ( помимо инверсности) для полугруппы В должны быть требования того, что совокупность Е ее идемпотентов образует алгебраическую решетку ( относительно порядка: е 62 & е е - 2 - ei), а также требования ( Нв - SB принципа неподвижных точек, глобализации и принципа одноэлементных подалгебр. Переводя эти принципы с языка пар ( Нв - SB на язык инверсных полугрупп, получаем следующие требования 1) - 3) на полугруппу В. [19]
В этом пункте мы рассмотрим случай, когда оператор / ( t, x) непрерывен по совокупности переменных. Тогда при естественных дополнительных предположениях оператор U ( о) непрерывен. Поэтому здесь могут применяться принципы неподвижной точки, использующие непрерывность оператора. [20]
Эта теорема о неявной функции эквивалентна аналогичной теореме о существовании локального обратного отображения для отображения х - и. Условия локального обращения соответствуют условиям существования неявной функции. Однако приведенное ниже доказательство ( также очень старое) этой теоремы не использует принципа неподвижной точки. Оно заимствовано нами из книги Ковалевского об определителях. Существуют и другие столь же хорошо известные доказательства. Заметим также, что в прямом доказательстве существования вокального обращения, приведенном в книге Рудина Основы математического анализа, рассуждения Ковалевского изменены лишь незначительно. [21]
Виброизмерительный прибор должен решать следующие задачи: выделение составляющей колебаний по определенному направлению; измерение параметров этой составляющей колебаний. Измерительное острие ( 2) вместе с вибрирующим объектом совершает сложное колебательное движение по нескольким направлениям. Выделение составляющих вибраций по отдельным направлениям осуществляется соответствующим расположением измерительных шкал. Измерения с естественной неподвижной точкой имеют ограниченное распространение, так как осуществление принципа неподвижной точки очень сложно, а зачастую и вовсе невозможно. При многоточечных измерениях, например, необходимо иметь систему неподвижных точек, что практически совершенно неосуществимо, так как при создании таких неподвижных опорных точек ( площадок) необходимо обеспечивать их надежную виброизоляцию. Весьма жесткие требования к опорным площадкам позволяют применять их только в условиях специальных стационарных стендов. [22]
В 1926 г. П. С. Александрови В. В. Немыцкий) доказали этим методом теорему Пеано; независимо от них польский ученый Шаудер получил в 1926 - 1927 гг. еще более общий принцип. С тех пор принцип неподвижной точки и принцип Каччопэли-Тихонова служат основными методами доказательства теорем существования решения самых разнообразных нелинейных проблем. [23]