Cтраница 2
Не останавливаясь подробно на этом вопросе, скажем несколько слов об упомянутых достаточных условиях существования экстремума функционала, входящего в математическую формулировку принципа Эйлера - Лагранжа в форме Якоби. [16]
В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера - Лагранжа принимает следующую форму. [17]
В механике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых силовая функция зависит не только от положения частиц, но и от времени. Для подобных систем закон сохранения энергии не выполняется и принцип Эйлера - Лагранжа не применим, однако применим принцип Гамильтона. [18]
V Динамика системы автор, обсуждая идеи Германа и Эйлера, развитые Лагранжем, указывает на бесплодность споров о реальности даламберовых сил инерции. Общие теоремы динамики ( без реакций связей) выводятся из принципа Эйлера - Лагранжа и применяются к решению ряда интересных задач, иллюстрирующих эти теоремы. При выводе уравнений Лагранжа подчеркивается, что они справедливы лишь для голоном-лых определяющих координат, и отмечается ошибка К. Здесь же излагается способ определения неизвестных реакций с помощью уравнений Лагранжа второго рода, который подробно иллюстрируется примерами. [19]
Как видим, этот принцип представляет собой обобщение прекрасной теоремы Ньютона о площадях, описанных под действием известных центростремительных сил. Однако для того, чтобы установить аналогию или, еще больше, тождественность этого принципа с принципом Эйлера и Даниила Бернулли, следует только принять во внимание, что скорость вращения выражается с помощью элемента дуги круга, разделенной на элемент времени, и что первый из этих элементов, умноженный на расстояние от центра, дает площадь, описанную вокруг этого центра; отсюда видно, что этот последний принцип представляет собой не что иное, как дифференциальное выражение принципа Дарси Позднее Дарси представил свой принцип в форме, более приближающейся к изложенному выше принципу. [20]
Принцип Эйлера - Лагранжа позволяет определять реакции связей. Действительно, если к заданным активным силам, действующим на механическую систему, добавим все реакции связей, то из принципа Эйлера - Лагранжа получим уравнения Ньютона для системы совершенно свободных точек. Однако практически более интересным является метод определения отдельных реакций. Идея этого метода заключается в том, что заданные активные силы дополняют одной интересующей нас реакцией, но зато систему понимают свободной от связи, порождающей одну и именно эту интересующую нас реакцию. [21]
Продолжая исследования М. В. Остроградского, Ф. А. Слудский и затем М. И. Талызин 1 показали, что принцип наименьшего действия в форме Эйлера - Лагранжа я принцип Гамильтона - Остроградского существенно различны. Дело в том, что в принципе Гамильтона вариации координат изохронны и время не варьируется, так как каждой точке действительной траектории ставится в соответствие точка на другой бесконечно близкой кривой, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени. В случае же принципа Эйлера - Лагранжа связи стационарны и имеет место закон живых сил. При этом допущении время должно варьироваться. [22]
Предположим, что исследуется движение изображающей точки на отрезке M M2 основной траектории. Так как постоянные энергии h при движении изображающей точки по основной траектории и траектории сравнения одинаковы, можно утверждать, что промежуток времени, соответствующий переходу изображающей точки из положения М в положение М2 по основной траектории, не равен промежутку времени, необходимому для перехода этой же точки из положения MI в положение М2 по траектории сравнения. Поэтому для доказательства принципа Эйлера - Лагранжа следует применять неизохронные ( полные) вариации. [23]
Наблюдение невозможно без вторжения, эффект которого может быть предсказан лишь статистически. Таким образом, заново освещен такой вопрос, как соотношение между субъектом и объектом: они связаны более тесно, чем это можно было понять с позиций классической физики. PMNS ] было отмечено, что количественные результаты, полученные из наблюдений за действием некоторого тела на другие, могут быть описаны, если известны свойства данных тел, вне зависимости от того, происходят ли эти взаимодействия на самом деле. Мы теперь видим, что этот принцип Эйлера накладывает весьма важные ограничения. Указанная ситуация имеет очевидные аналогии в области психологии. [24]
Есть достаточно оснований пойти дальше к реабилитации работ Эйлера, относящихся к теории рядов. Эйлер, как правило, исходил из принципа: Сумма всякого ( бесконечного) ряда есть значение того ( конечного) выражения, из развертывания которого возникает этот ряд. Так, сохранилась переписка одного из оппонентов, Николая Берпулли с Эйлером ( 1743 г.), в которой этот принцип обсуждается. Бернуллп утверждал, что один и тот же ряд может получиться при развертывании различных выражений, следовательно, согласно принципу Эйлера, ему при-птлось бы, вообще говоря, одновременно приписывать различные значения. Эйлер остался при убеждении, что никогда один и тот же ряд не может возникнуть из разложения двух действительно различных конечных выражений ( письмо к Гольдбаху, 1745 г.), и Эйлер прав, потому что он имел в виду только степенные ряды, а его конечные выражения - аналитические функции. [25]