Cтраница 2
А это не что иное, как принцип Якоби ( см. гл. [16]
Принцип минимизации, примененный к интегралу (5.6.12) с целью нахождения пути механической системы, называется принципом Якоби. Время не входит в его формулировку. Он определяет траекторию С-точки в пространстве конфигураций, а не движение во времени. Уравнение (5.6.10) не является частью вариационной задачи, а есть выражение теоремы о сохранении энергии. Однако оно дополняет вариационную задачу, определяя, как происходит движение во времени. [17]
Для случая одной материальной точки, когда линейный элемент ds - элемент евклидова 3-мерного пространства, принцип Якоби представляет собой механич. [18]
Принцип Якоби приводит задачу изучения движения голономнои консервативной системы к геометрич. Принцип Якоби выявляет тесную связь, существующую между движениями голономнои консервативной системы и римановой геометрией пространства. Если движение системы происходит в отсутствие заданных сил, когда U - 0, то система движется вдоль геодезич. Этот факт является обобщением закона инерции Галилея. [19]
Для этого используем наш прежний результат, связанный с принципом Якоби ( см. гл. [20]
В этом пространстве принцип Гаусса может быть сформулирован как принцип прямейшего пути. Такая интерпретация устанавливает тесную связь между принципом Гаусса и принципом Якоби. [21]
При изложении вариационных принципов мы не будем придерживаться исторической последовательности, а начнем с принципа Гамильтона, который является наиболее прямым и наиболее естественным преобразованием принципа Даламбера в минимальный принцип. Из него при некоторых ограничениях мы сможем получить более старые формы принципа, применявшиеся Эйлером и Лагран-жем, а также принцип Якоби. [22]
Это есть принцип Якоби, хотя и без обычного квадратного корня. В обычной формулировке принципа Якоби т - произвольный параметр; в принципе же (6.10.29) т выбрано определенным образом. [23]
Принцип наименьшего действия в форме Якоби не является непосредственным следствием принципа Гамильтона, так как экстремали Е обоих принципах определяются при совершенно различных предположениях. Тем не менее, принцип Якоби может быть получен из принципа Гамильтона, если наложить определенные ограниченш на рассматриваемую систему. [24]
Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона - Яко-бн с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям S const. Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма - принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. [25]
Число подобных вариационных принципов классической механики весьма велико. Так, например, из принципа наименьшего действия непосредственно вытекает принцип Герца наименьшей кривизны. Согласно этому принципу точка, на которую не действуют активные силы, движется вдоль траектории наименьшей кривизны, что можно получить непосредственно из принципа Якоби, так как согласно этому принципу траекторией такой точки должна быть геодезическая линия, являющаяся, как известно, линией наименьшей кривизны. [26]
Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия, указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях; последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [27]
Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия, указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях; последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [28]
Там также задача о движении эквивалентна нахождению геодезической линии риманова пространства. Это риманово пространство имеет четыре измерения, так как пространство и время вместе образуют единый четырехмерный континуум. Из закона инерции получается решение задачи о движении планет без введения каких бы то ни было сил гравитации. Принцип Якоби применим в релятивистской механике частицы. Единственная разница заключается в том, что риманова структура четырехмерного континуума является внутренним свойством вселенной, а не следствием наличия кинематических связей. [29]
Герц 1 предложил замечательную геометрическую интерпретацию принципа Гаусса в частном случае, когда приложенные силы равны нулю. Из-за наличия связей наша точка должна оставаться внутри определенного подпространства этого ЗУУ-мерного пространства. Утверждение, что Z принимает минимальное значение, можно теперь сформулировать следующим образом: С-точка при движении стремится уменьшить кривизну своей траектории в каждой ее точке до минимального значения, допускаемого связями. Это означает, что траектория С-точки стремится стать возможно более прямой. Интерпретация Герца с помощью прямейшего пути роднит принцип Гаусса с принципом Якоби, который достигает той же самой цели гораздо более непосредственно, путем минимизации длины дуги в пространстве конфигураций. Герцовы пути наименьшей кривизны могут быть интерпретированы как геодезические линии в искривленном пространстве конфигураций, которое погружено в евклидово ЗЫ-мерное пространство Герца ( см. гл. [30]