Cтраница 1
Принцип Герца эквивалентен принципу Гаусса для систем, стесненных стационарными связями и не подверженных действию активных сил. [1]
Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы он не заменил силы, действующие на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. [2]
Иными словами, принцип Герца утверждает, что среди всех совместимых со связями траекторий действительная траектория обладает наименьшей кривизной. [3]
Естественно возникает вопрос об отношении принципа Герца к принципу наименьшего действия Эйлера - Лагранжа в его классической форме и в форме, которую придал ему Якоби, и к принципу Гамильтона. [4]
Герц 2, разработавший принцип прямейшего пути; ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. [5]
Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892 - 1893 гг. Герц), разработавший принцип прямейшего пути; ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. [6]
Число подобных вариационных принципов классической механики весьма велико. Так, например, из принципа наименьшего действия непосредственно вытекает принцип Герца наименьшей кривизны. Согласно этому принципу точка, на которую не действуют активные силы, движется вдоль траектории наименьшей кривизны, что можно получить непосредственно из принципа Якоби, так как согласно этому принципу траекторией такой точки должна быть геодезическая линия, являющаяся, как известно, линией наименьшей кривизны. [7]
Напомним, что геодезическая линия является наименьшим расстоянием между двумя точками, лежащими на поверхности. Натянутая нить, соединяющая эти две точки, совпадает с геодезической линией и находится в со-стоянии устойчивого равновесия; потенциальная энергия этой нити минимальна. Согласно принципу Герца при отсутствии внешних сил траектория движущейся по поверхности точки совпадает с геодезической линией. [8]
Напомним, что геодезическая линия является наименьшим расстоянием между двумя точками, лежащими на поверхности. Натянутая нить, соединяющая эти две точки, совпадает с геодезической линией и находится в состоянии устойчивого равновесия; потенциальная энергия этой нити минимальна. Согласно принципу Герца при отсутствии внешних сил траектория движущейся по поверхности точки совпадает с геодезической линией. [9]
Напомним, что геодезическая линия имеет наименьшее расстояние между двумя точками, лежащими на поверхности. Натянутая нить, соединяющая эти две точки, совпадает с геодезической линией и находится в состоянии устойчивого равновесия: потенциальная энергия этой нити минимальна. Согласно принципу Герца при отсутствии внешних сил траектория движущейся по поверхности точки совпадает с геодезической линией. Эти свойства находятся в согласии с предположением, что путь трещины определяется наименьшими затратами энергии на разрушение. [10]
Эта теорема сразу приводит к принципу наименьшего действия в форме Якоби. Согласно обычному пониманию механики, отмечает Герц, приведенная теорема представляет собой частный случай теоремы Якоби, а именно случай, когда силы отсутствуют. Такая точка зрения Герца основана на том, что Якоби для получения своего выражения принципа наименьшего действия должен был воспользоваться законом сохранения энергии, чтобы с его помощью исключить время, в то время как принцип Герца совершенно не зависит от этого закона. Кроме того, выражение Якоби, в отличие от принципа Герца, справедливо лишь для голономных систем. [11]
В своей формулировке: каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей, Герц объединяет, по существу говоря, закон инерции и принцип наименьшего принуждения. Герц отмечает глубокую связь своего принципа с теорией поверхностей и многочисленные аналогии, которые возникают при его рассмотрении. Принцип Герца находится в тесной связи с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами - Липшица, так как между прямейшими путями и нормальными к ним поверхностями в процессе движения имеет-место то же соотношение, что и между лучами и волновыми поверхностями. Герц полностью исключил всякие теологические умозаключения из своего, принципа, так как в нем настоящее не определяется через будущее. Сам Герц показал, что принцип прямейшего пути непосредстенно связан с принципом, наименьшего действия в форме Якоби и с принципом Гамильтона. [12]
Согласно этому принципу, геодезическая линия имеет меньшую кривизну, чем соседние траектории; при этом, по условию (38.3), сравниваемые соседние траектории ограничены тем, что они должны проходить через ту же точку и с той же касательной, как и геодезическая линия в рассматриваемой точке. Совокупность этих соседних траекторий мы получим, если, кроме плоскости, проходящей через нормаль к поверхности и дающей в сечении с последней геодезическую линию, проведем через соответствующую касательную все возможные наклонные плоскости и определим линии их пересечения с поверхностью. Согласно принципу Герца, эти косые сечения имеют большую кривизну ( а следовательно, и меньший радиус кривизны ], чем нормальные сечения. [13]
Эта теорема сразу приводит к принципу наименьшего действия в форме Якоби. Согласно обычному пониманию механики, отмечает Герц, приведенная теорема представляет собой частный случай теоремы Якоби, а именно случай, когда силы отсутствуют. Такая точка зрения Герца основана на том, что Якоби для получения своего выражения принципа наименьшего действия должен был воспользоваться законом сохранения энергии, чтобы с его помощью исключить время, в то время как принцип Герца совершенно не зависит от этого закона. Кроме того, выражение Якоби, в отличие от принципа Герца, справедливо лишь для голономных систем. [14]