Cтраница 1
Проблема непротиворечивости возникает при рассмотрении любого исчисления; это одна из кардинальных проблем математической логики. Дадим определение непротиворечивости логического исчисления, которое относится не только к исчислению высказываний, но и ко всем логическим системам, изучаемым в математической логике. [1]
Проблема непротиворечивости состоит в следующем: является данное исчисление непротиворечивым или нет. [2]
Участь, постигшую проблему непротиворечивости арифметики, разделили с ней и некоторые другие из проблем, поднятых Гильбертом, например проблема разрешимости диофантовых уравнений. [3]
Это определение и проблема непротиворечивости приобретают значение вне метаматематики, при интерпретации формальной системы как формализации содержательной теории, в которой символ - i выражает отрицание. Предложения, выраженные двумя арифметическими формулами А и - iA, если А не содержит свободных переменных ( а если А содержит свободные переменные, то предложения, которые получаются при каждом конкретном выборе значений переменных), взятые вместе, образуют противоречие. То же самое справедливо для случая пропозициональных формул, если пропозициональные буквы интерпретируются любыми конкретными предложениями. Таким образом, метаматематическое доказательство непротиворечивости формальной системы дает гарантию против возникновения противоречия в соответствующей содержательной теории. [4]
С точки зрения проблемы непротиворечивости изложенные результаты можно рассматривать как свидетельство того, что интуиционистская арифметика в той же мере, как и классическая, нуждается в метаматематическом доказательстве непротиворечивости. Или же, если на основе интерпретации интуиционистской системы принимается ее непротиворечивость, то можно считать, что она гарантирует непротиворечивость классической системы. [5]
Интересно отметить, что если / - операторная абстракция, то проблема непротиворечивости множества f ( S) разрешима. Доказательство NIL из f ( S) выглядит следующим образом. [6]
В связи с этим рассматриваются три основные проблемы аксиоматики: 1) проблема непротиворечивости, 2) проблема минимальности, 3) проблема полноты. [7]
Таким образом, вместо вопроса о непротиворечивости данной системы мы решаем более слабую задачу - сведение проблемы непротиворечивости рассматриваемой системы к проблеме непротиворечивости некоторой формальной теоретико-множественной системы. [8]
Переходим ко второй задаче - в рамках введенной системы, пользуясь только ее понятиями и принципами, поставить проблемы непротиворечивости и независимости для любых аксиоматических систем. Если бы мы сохранили за аксиомами их прежний смысл, имея в виду находить для них интерпретации в круге понятий финитизма мы только ограничили бы наши, возможности решать вопросы, связанные с аксиомами, так как финитизм оказывается очень слабым средством для того, чтобы доставлять интерпретации для самых простых систем аксиом, Гильберт предложил рассмотреть аксиомы с иной точки зрения. Аксиомы являются определенными высказываниями. Высказывания же, какой бы смысл они не имели, всегда представляют собой сочетание терминов и, может быть, символов, поставленных между собою в какую-то связь. Делая логические выводы, мы переходим от одних сочетаний к другим. Возникает вопрос, нельзя ли дедуктивные операции над высказываниями описать в виде механизма в понятиях финитной системы мышления. [9]
Таким образом, вместо вопроса о непротиворечивости данной системы мы решаем более слабую задачу - сведение проблемы непротиворечивости рассматриваемой системы к проблеме непротиворечивости некоторой формальной теоретико-множественной системы. [10]
Из сказанного как будто4 можно заключить, что о непротиворечивости некоторых формализмов мы имеем возможность судить только по тому содержанию, которое они представляют; иными словами, решение проблемы непротиворечивости опять требует метода интерпретаций. Но содержание формализмов, описывающих теоретико-множественные системы, как мы уже неоднократно говорили выше, само нуждается в обосновании. Все же теоретико-множественные интерпретации, за неимением ничего лучшего, применяются и к формализмов. [11]
Изданной в Брауншвейге в 1888 г. Следует отметить, что после обнаружения парадоксов теории множеств, а особенно после установленной Геделем неполноты формальной арифметики надежды Дедекинда и Гильберта о решении проблемы непротиворечивости арифметики натуральных чисел не оправдались: непротиворечивость формальной системы, включающей формальную арифметику, может быть установлена лишь более сильными средствами, чем ге, которые формализованы в данной системе. [12]
Кениг определял это понятие; что при установлении счетности множества конечно определенных элементов континуума он пользовался утверждением о счетности счетной суммы конечных множеств; что, наконец, кениговское обращение к авторитету Гильберта в связи с проблемой непротиворечивости введенного в указанной работе понятия континуума является неоправданным, ибо Гильберт [1 ] лишь наметил программу доказательства непротиворечивости, которая не осуществлена до сих пор. [13]
Метод интерпретаций позволяет также решать вопрос о независимости систем аксиом: для доказательства того, что аксиома А теории Т не выводима из остальных аксиом этой теории и, следовательно, существенно необходима для получения всего объема данной тео-рпи, достаточно построить такую интерпретацию теории Т, в к-рой аксиома А была бы ложна, а все остальные аксиомы этой теории истинны. Упомянутое выше сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней - к вопросу о непротиворечивости арифметики имеет своим следствием утверждение, что V постулат Евклида не выводим из остальных аксиом геометрии, если только непротиворечива арифметика натуральных чисел. [14]
Упомянутое выше сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней - к вопросу о непротиворечивости арифметики имеет своим следствием утверждение, что V постулат Евклида не выводим из остальных аксиом геометрии, если только непротиворечива арифметика натуральных чисел. Слабая сторона метода интерпретаций состоит в том, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получать результаты, носящие неизбежно лишь относительный характер. Но важным достижением этого метода стал тот факт, что с его помощью была выявлена на достаточно точной основе особая роль арифметики как такой математич. [15]