Проблема - непротиворечивость
Cтраница 2
Метод интерпретаций позволяет также решать вопрос о независимости систем аксиом: для доказательства того, что аксиома А теории Т не выводима из остальных аксиом этой теории и, следовательно, существенно необходима для получения всего объема данной тео-рпи, достаточно построить такую интерпретацию теории Т, в к-рой аксиома А была бы ложна, а все остальные аксиомы этой теории истинны. Упомянутое выше сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней - к вопросу о непротиворечивости арифметики имеет своим следствием утверждение, что V постулат Евклида не выводим из остальных аксиом геометрии, если только непротиворечива арифметика натуральных чисел. [16]
Упомянутое выше сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней - к вопросу о непротиворечивости арифметики имеет своим следствием утверждение, что V постулат Евклида не выводим из остальных аксиом геометрии, если только непротиворечива арифметика натуральных чисел. Слабая сторона метода интерпретаций состоит в том, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получать результаты, носящие неизбежно лишь относительный характер. Но важным достижением этого метода стал тот факт, что с его помощью была выявлена на достаточно точной основе особая роль арифметики как такой математич. [17]
Лобачевского относительно евклидовой геометрии, а вопрос о непротиворечивости последней был сведен к проблеме непротиворечивости арифметики. [18]
Несмотря на то, что уже Начала Евклида испокон веков трактуются как образец-пусть несвободный еще от некоторых дефектов-применения аксиоматического метода, последний является, по существу, характерным именно для современной математики. В современной математике аксиоматический метод приобрел ту форму, с которой оказались органически связанными проблемы непротиворечивости, полноты и независимости аксиом данной системы), развитие которых привело в дальнейшем к необходимости расширить самое понятие математической теории, включив в него элементы логики. На этом обстоятельстве нам и представляется необходимым немного остановиться. [19]
Если задано исчисление и определено понятие истинности ( семантика) формул этого исчисления, то говорят, что исчисление непротиворечиво по отношению к этой семантике, если в исчислении доказуемы только истинные формулы. Если доказуемы все истинные формулы, то говорят, что исчисление полно по отношению к этой семантике. Кроме проблемы непротиворечивости и полноты важное значение имеет проблема разрешимости исчисления. [20]
 |
Модель закачивания / скачивания ( а. коммутируемая сеть Ethernet ( б. [21] |
Преимущество модели закачивания / скачивания заключается в ее простоте и том факте, что перенос файла целиком эффективнее, чем перенос его по частям. К недостаткам данной модели относится необходимость наличия достаточно большого объема памяти для хранения файла целиком локально, к тому же перенос файла целиком, когда требуется только его часть, представляет собой излишние расходы. Наконец, при наличии нескольких конкурирующих пользователей возникает проблема непротиворечивости файлов. [22]
Специфика экспертной системы для многонродуктового производства проявляется и в составе блоков архитектуры. Так, например, появляется подсистема морфологического анализа, выполняющая функцию систематизации всех возможных способов формирования системы для выполнения заданных функций. Это реализуется в формировании пространства информационных признаков, измерении их значений, решении проблемы непротиворечивости и т.п. Наконец, формируется необходимое условие допустимости варианта. [23]
Цермело построение теории множеств в виде формальной аксиоматической теории. Другая позиция была провозглашена Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica. Формальная теория множеств Цермело с последующими видоизменениями и усовершенствованиями оказывается полноценной основой для построения той теории множеств, которая нужна для известной нам математики, причем в этой аксиоматической теории удается избежать появления классических теоретико-множественных парадоксов - их нельзя вывести из аксиом этой формальной теории. Проблема непротиворечивости такой теории есть по существу проблема непротиворечивости классической математики - в Principia Mathematica было показано ( косвенным образом), что в рамках такой теории можно построить всю классическую математику. [24]
Цермело построение теории множеств в виде формальной аксиоматической теории. Другая позиция была провозглашена Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica. Формальная теория множеств Цермело с последующими видоизменениями и усовершенствованиями оказывается полноценной основой для построения той теории множеств, которая нужна для известной нам математики, причем в этой аксиоматической теории удается избежать появления классических теоретико-множественных парадоксов - их нельзя вывести из аксиом этой формальной теории. Проблема непротиворечивости такой теории есть по существу проблема непротиворечивости классической математики - в Principia Mathematica было показано ( косвенным образом), что в рамках такой теории можно построить всю классическую математику. [25]
Все это ставит определенные границы возможностям А. Однако и в этих границах он сыграл и продолжает играть важную роль в основаниях математики. Что касается такого основного вопроса оснований математики, как проблема непротиворечивости, то после результатов К. Геделя стало ясно, что для его решения, по-видимому, не обойтись без других, отличных от финитистских, средств и идей. [26]
Все это ставит определенные границы возможностям А. Однако и в этих границах он сыграл и продолжает играть важную роль в основаниях математики. Что касается такого основного вопроса оснований математики, как проблема непротиворечивости, то после результатов Геделя стало ясно, что для его решения, по-видимому, не обойтись без других, отличных от финитистских, средств и идей. Здесь оказались возможными разные подходы, не для всех математиков в равной степени приемлемые или убедительные, в частности в виду существования различных точек зрения на допустимость тех или иных логич. Из результатов о непротиворечивости формальных систем следует прежде всего указать на доказательство непротиворечивости формализованной арифметики ( см. [8]), к-рое опирается на бесконечную индукцию до нек-рого счетного трансфинита. [27]
Чтобы доказательство непротиворечивости было убедительным, рассуждения, посредством к-рых оно получе-нд, должны носить настолько элементарный характер, чтобы в их правильности нельзя было усомниться. Такие методы должны избегать использования актуальной бесконечности. Заметим, что гильбер-товская формулировка проблемы установления непротиворечивости не использует актуальной бесконечности, поскольку в утверждении о непротиворечивости речь идет не о совокупности всех доказательств, возможных в математике, а о произвольной доказательстве, к-рое, в свою очередь, является конечной цепочкой формул. Естественно поэтому было ожидать, что проблема непротиворечивости, сформулированная в финитных терминах, может быть решена финитными методами. [28]
Преодолеть трудности, связанные с парадоксами теории множеств и с доказательствами существования, неконструктивного характера, и не сузить при этом объем классической математики было целью Гильберта и его последователей. Путь для достижения этой цели Гильберт наметил не сразу, но к началу двадцатых годов им была сформулирована достаточно четкая схема. Прежде всего ( и логически, и хронологически) был выдвинут принцип, что непротиворечивость некоторого математического понятия равносильна его существованию. Поэтому обоснование математической теории сводилось к доказательству ее непротиворечивости, которое должно было быть дано заранее, то есть - по отношению к этой теории - априорно. Для сохранения рая классической математики основной становится проблема непротиворечивости арифметики. Для отчетливого проведения доказательства непротиворечивости без апелляции к каким-либо интуитивно принимаемым положениям соответствующую теорию надо формализовать: рассматривать ее предложения как записанные определенными символами, лишенными конкретного значения, указать правила для сочетания этих символов и доказать, что, пользуясь этими правилами, нельзя получить такое сочетание символов ( формулу), которое будет истинным в данной теории и отрицание которого тоже будет истинным. Вследствие такой неизбежной в этом круге идей формализации математики направление, возглавлявшееся Гильбертом, было названо формализмом. А так как суть дела в доказательстве непротиворечивости, то для формализма помимо формализованной математики необходима метаматематика - научная дисциплина, дающая теорию доказательства. Разрабатывая связанный с этими идеями круг вопросов, Гильберт и его школа сделали очень много для развития математической логики. [29]
Hilbert) считал, что парадоксы в теории множеств возникают вследствие того, что безотказно работающие в области конечных систем объектов способы рассуждений без должных оснований применяются к бесконечным совокупностям. В таком случае любое высказывание теории представляется в виде формулы, составленной из конечного множества символов, а доказательство - в виде конечной цепочки формул, образованной по определенным правилам из формул, наз. Гильберт надеялся, что на этом пути будет в первую очередь найдено положительное решение проблемы непротиворечивости А. [30]
Страницы: 1 2 3