Cтраница 2
Проверка корней не нужна. [16]
Нинимальные значения и и m модели, при которых система (1.7) оо щий корень, дают решение задачи. Для проверки сущвст-общих корней можно вычислить результант системы ( 17), который обращается в нуль при наличии общих корней. [17]
Например, при переходе от уравнения ] / 2x - Ух - 1 к уравнению 2х - х - 1 возведением в квадрат обеих частей исходного уравнения получим х 0 - посторонний корень исходного уравнения. Поэтому часто делают проверку корней путем подстановки их в исходное уравнение. [18]
Иными словами, в новом уравнении, кроме корней первоначального уравнения, могут появиться лишние, посторонние корни. С этим обстоятельством связана необходимость проверки корней. Проверку можно не производить только в том случае, если ни одно из примененных преобразований не приводит к появлению посторонних корней. [19]
Каждое из рассмотренных преобразований уравнения ( см. примеры 1 - 4): вычеркивание взаимно противоположных слагаемых, содержащих неизвестное ( 1); сокращение дробного члена уравнения на выражение, содержащее неизвестное ( 2); умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель, содержащий неизвестное ( 3); возведение обеих частей уравнения в четную степень ( 4) - может привести к появлению посторонних корней. Следовательно, при каждом из этих преобразований необходима проверка корней. [20]
Значит, возводя в одну и ту же степень обе части уравнения, можно приобрести посторонние решения. Поэтому при решении иррациональных уравнений методом возведения в четную степень обеих частей уравнения необходима проверка корней. При этом проверять следует только те из найденных корней следствия, которые принадлежат области допустимых значений неизвестного. Для каждого такого корня достаточно установить знаки правой и левой частей исходного уравнения. [21]
При преобразовании уравнений с целью их упрощения лишь в редких случаях выполняются преобразования, сужающие область определения; обычные преобразования, как например сокращение дробных выражений, отбрасывание общего знаменателя, сокращение взаимно противоположных слагаемых, почленное возведение уравнения в квадрат ( вообще в четную степень), не сужают область определения уравнения, а могут ее расширить. Следовательно, при таких преобразованиях возможно появление посторонних решений ( но не потеря решений), поэтому проверка корней является необходимой. [22]
ОДЗ исходного уравнения может расшириться, в силу чего возможно приобретение посторонних корней. Помня об этом, в подобных ситуациях необходимо следить за равносильностью преобразований и, если ОДЗ расширяется, делать проверку получаемых корней. [23]
Полученный корень полезно проверить. Можно выполнить все указанные действия без нахождения области определения уравнения, но следует помнить, что возведение в квадрат обеих частей уравнения расширяет его область определения и могут появиться посторонние корни. После такого решения обязательна проверка корней подстановкой их в исходное уравнение. [24]
Один из способов решения иррационального уравнения заключается в последовательном возведении обеих частей уравнения в степень, являющуюся наименьшим общим кратным показателей всея радикалов, входящих в данное уравнение. При этом если степень, в которую возводится уравнение, четная, то полученное следствие исходного уравнения может иметь посторонние корни. В этом случае обязательна проверка корней. [25]
Посторонние корни можно выделить, например, непосредственной проверкой ( подстановкой всех корней нового уравнения в исходное), но сделать это иногда трудно. Потеря же корней недопустима, так как решить уравнение - значит найти все его корни или показать что уравнение решений не имеет. Чтобы избежать потери корней и проверки, на неизвестные и параметры во время преобразований накладывают дополнительные ограничения, при которых новое уравнение будет равносильным исходному только на области допустимых значений переменных для исходного уравнения. Такой переход от одного уравнения к ему равносильному называется равносильным ( эквивалентным) на этой области переходом от одного уравнения к другому. В этом случае достаточно проверить, удовлетворяют или нет все найденные корни нового уравнения введенным ограничениям. Если нельзя или трудно указать дополнительные условия и поэтому не удалось избежать неравносильных действий, сужающих или расширяющих область допустимых значений переменных, то необходимо сделать проверку корней. Можно разбить область допустимых значений переменных на части, на каждой из них решить уравнение, а затем, объединив все найденные решения, получить множество решений исходного уравнения. [26]
Подобрать корни квадратного трехчлена, чтобы разложить его на линейные множители и попытаться сократить дробь, трудно. Найденные при этом корни трехчлена и являются корнями того квадратного уравнения, которое нам все равно нужно будет решать. Но мы здесь поступим несколько иначе: не пытаясь получить несократимую дробь, умножим обе части уравнения на знаменатель, содержащий неизвестное. В этом случае могут появиться посторонние корни и проверка корней обязательна. Проверяя полученные решения по условию задачи, мы проверяем этим и решение уравнения. [27]