Cтраница 2
Корректность определения операций, а также проверку аксиом 1) - 10) булевых алгебр оставляем читателю в качестве упражнения. [16]
Поскольку, далее, аксиома симметрии очевидна, то остановимся на проверке аксиомы треугольника. [17]
Роль нуля в пространстве R играет единица, а обратным к элементу а является число 1 / а. Проверка аксиом линейного пространства предоставляется читателю. [18]
Справедливость аксиом II, 1 - 3 проверяется тривиально. Несколько кропотливую проверку аксиомы Паша II, 4 мы опустим. [19]
На множестве R ( действительных чисел) определим топологию, приняв за открытые множества всевозможные объединения открытых интервалов. Аксиома 1) определения 1 выполняется очевидным образом, а для проверки аксиомы 2) достаточно заметить, что непустое пересечение двух открытых интервалов снова является открытым интервалом. Такая топология на R называется естественной, н R с естественной топологией называется числовой прямой. [20]
Как и в том исчислении, множество элементов, которые служат в качестве координат, строится довольно просто. В нем определяются операции сложения и умножения, но трудной задачей является проверка аксиом тела. [21]
Векторное подпространство само является векторным пространством. Рассматриваемые в дальнейшем в качестве примеров векторные пространства обычно заданы как подмножества пространства всех функций на каком-нибудь. Поэтому для проверки аксиом векторного пространства достаточно проверить замкнутость этих множеств относительно алгебраических операций. [22]
С другой стороны, мы проверяем ( доказываем. Таким образом, рассматриваются исключительно внутренние вопросы теории. Вопрос же о справедливости аксиом для единственного интересующего нас объекта - идеализированной модели нашего реального пространства - является внешним для теории и решается исходя из наших интуитивных представлений. В случае же, например, теории булевых алгебр эти внешние вопросы возникают для различных конкретных объектов, причем проверка аксиом каждый раз осуществляется строгими математическими средствами, хотя и лежит за пределами теории. Другими словами, понятие системы аксиом приобретает новый оттенок. Это уже не набор истин, которые мы по каким-то соображениям принимаем без доказательства, а набор тестов, выполнимость которых для какого-нибудь объекта автоматически влечет справедливость целого набора теорем, составляющих данную аксиоматическую теорию. Эта эволюция взгляда на аксиомы лежит в основе широкого применения аксиоматического метода в современной математике. [23]
Здесь прежде всего необходимо четко формулировать основные вопросы, возникающие при аксиоматическом построении любой теории и геометрии в частности, доказать непротиворечивость и полноту системы аксиом элементарной геометрии. Что же касается их независимости, то достаточно ограничиться доказательством независимости аксиомы непрерывности в форме Дедекинда и аксиомы параллельности. В последнем вопросе предпочтительно пользоваться интерпретацией Клейна. Дело в том, что в этой интерпретации проверка всех аксиом, кроме аксиом движения, действительно тривиальна, а проверка аксиом движения также может быть проведена достаточно просто путем приведения произвольной точки к центру некоторым стандартным образом, а затем использования евклидовых вращений около центра абсолюта и зеркальных отражений в его диаметрах. [24]
Люди, далекие от математики, склонны приписывать ей непогрешимость, которой она не обладает, и усматривать в математических формулах своего рода философский камень. Естествоиспытатели не раз пытались и пытаются найти математическую формулу, которая бы охватила их наблюдения или теорию и придала им целостность. Нередко их попытки заранее обречены на неудачу. Действительно, если биолог оперирует такими расплывчатыми понятиями, как влияние окружающей среды, наследственность, раса, приобретенный признак, и обозначает их математическими символами, то от этого понятия не становятся точнее. Чтобы мы могли применять к каким-то понятиям математический метод, необходимо прежде всего построить их аксиоматику, н каждую аксиому ( поскольку речь идет о применимости теории к опыту) подвергнуть сравнению с опытом. Проверка аксиом невозможна, если в игру входят полностью или даже частично не определенные понятия. Часто совершают еще одну ошибку: считают величиной то, что не поддается измерению. Формула, являющаяся отнюдь не конечной целью прикладной науки, а лишь средством для описания и понимания известных и предсказания новых явлений, становится при этом надгробием мысли, на котором следовало бы написать: Торжество науки над здравым смыслом. Интересно заметить, что математики таких недоразумений не любят и часто предостерегают от переодевания нематематического содержания в математический наряд. [25]