Cтраница 2
Геделя о неполноте Две теоремы, доказанные Куртом Гс - делем в 1931 г. В одной из формулировок цервой георемы утверждается, что совокупность истинных утверждений арифметики не является рекурсивно перечислимой ( См. Вторая теорема о неполноте связана с программой Гильберта в области оснований математики. Во второй теореме Геделя утверждается, что эта программа Гильберта невыполнима. [16]
Он серьезнейшим образом воспринял концепцию Брауэра, поддержанную Марковым, что математика по сути своей есть гуманитарная наука, и рассматривал ее как одну из отраслей мировой культуры. Сам он стеснялся публиковать философские работы ( многие математики страдают этой ложной скромностью), но его философские рассуждения на близкие к современной логике темы всегда были исключительно глубокими. В частности, именно он одним из первых в России заметил, что программа Гильберта обоснования математики вовсе не завершилась провалом. Теорема Геделя о недоказуемости непротиворечивости показала лишь неточность формулировки средств, а сама цель программы Гильберта была практически достигнута в результате метаматематических исследований по интуиционистской и конструктивной математике. Таким образом, А. Г. Драгалин еще раз подтвердил глубину воззрений Гильберта, поддержанных, кстати, его якобы непримиримым ( если судить по писаниям вульгаризаторов истории науки) оппонентом Брауэром: хотя порою в принципе идеальные понятия могут быть устранены, редукционизм и ползучий 4 эмпиризм приводят к полной умственной прострации, просто невероятно увеличивая объем выкладок. Ни до чего нетривиального мы не можем добраться без использования идеальных понятий, и чем более сильного практического результата мы желаем добиться, тем более высокую теорию надо задействовать. Другое дело, что с этой высоты надо еще суметь спуститься на грешную землю, поскольку даже операция выяснения, не является ли одно из понятий высокого уровня примером другого, уже неразрешима алгоритмически. [17]
В действительности теорема Геделя носит более частный характер, поскольку от формальной системы того типа, который рассматривал Гедель, требовалась адекватность по отношению к арифметическим утверждениям, а не математическим утверждениям вообще. Тьюринга) быть выражены в терминах обычной арифметики. В любом случае, предшествующие рассуждения показывают, что, исходя из результатов Тьюринга, программа Гильберта по сведению целых разделов математики к вычислениям в рамках некоторой формальной системы - невыполнима. [18]
Выход из кризиса оснований математики Гильберт в противоположность интуиционизму ищет в строго разработанном формализованном аксиоматическом методе. Истинность полученной этим методом теории понимается Гильбертом как ее непротиворечивость. Так, истинность математики Гильберт сводит к ее непротиворечивости и пытается доказать последнюю в самой математике. Невозможность осуществления программы Гильберта была доказана Геделем. [19]
Однако надежды Гильберта и его последователей были перечеркнуты, когда в 1931 году блестящий австрийский логик математики Курт Гедель выдвинул поразительную теорему, которая до основания разрушала программу Гильберта. Гедель показал, что любая подобная точная ( формальная) система аксиом и правил вывода, если только она достаточна широка, чтобы содержать в себе описания простых арифметических теорем ( как, например, последняя теорема Ферма, рассмотренная в главе 2), и если она свободна от противоречий - то такая система должна включать утверждения, которые не являются ни доказуемыми, ни недоказуемыми в рамках формализма данной системы. Истинность таких неразрешимых утверждений, следовательно, не может быть выяснена с помощью методов, допускаемых самой системой. Более того, Гедель смог показать, что даже утверждение о непротиворечивости системы аксиом, будучи переведенным в форму соответствующей теоремы, само по себе является неразрешимым. Тогда мы увидим, почему выводы Геделя опровергали самое основание программы Гильберта. Мы также увидим, каким образом они дают нам возможность, воспользовавшись интуицией, выходить за пределы любой рассматриваемой формализованной математической системы. [20]