Cтраница 1
Программа Гильберта показала жизненную силу математики конца девятнадцатого века, она находится в резком контрасте с теми пессимистическими взглядами, какие были в конце восемнадцатого столетия. Теперь некоторые из проблем Гильберта рещены, другие все еще ждут окончательного решения. [1]
Идея программы Гильберта состояла в том, чтобы найти применительно к любой отдельно взятой области математики набор аксиом и правил вывода, который был бы достаточно полным для всех возможных в данной области корректных математических рассуждений. То, что мы не рассматриваем более общую область математики, не умаляет нашу задачу: арифметика и сама по себе обладает общностью, достаточной для применения процедуры Геделя. Если мы допустим, что благодаря программе Гильберта мы действительно располагаем такой всеобъемлющей системой аксиом и правил вывода для арифметики, то мы тем самым обретаем и определенный критерий для выявления корректности математического доказательства любого утверждения в области арифметики. [2]
Они показали неосуществимость в целом программы Гильберта ( см. Метаматематика), к-рая предусматривала полную формализацию существенной части математики и обоснование полученной формальной системы путем доказательства ее непротиворечивости финитными методами. [3]
Хотя вторая теорема означает полный крах программы Гильберта, первая теорема интереснее. Такие утверждения называются неразрешимыми. [4]
Несмотря на то что попытка осуществления программы Гильберта в целом оказалась несостоятельной ( см. Геделя теорема о неполноте), проведенные в рамках этой программы исследования имели большое значение для развития многих разделов математич. [5]
Быть может, следовало с самого начала понять, чтр программа Гильберта обречена на неудачу. Уж слишком она похожа на попытку поднять самого себя sg шнурки ботинок. Существуют ли вообще знания, истинные в абсолютном смысле. Но в том-то и дело, что значение работы Геделя выходит за рамки подобных умозрительных рассуждений: она доказывает невозможность арифметического доказательства непротиворечивости самой арифметики. [6]
В 1930 г. он направил в печать работу5, которая превратила программу Гильберта в руины. Другой великий математик Джон фон Нейман читал тогда курс лекций о программе Гильберта. [7]
Однако надежды Гильберта и его последователей были перечеркнуты, когда в 1931 году блестящий австрийский логик математики Курт Гедель выдвинул поразительную теорему, которая до основания разрушала программу Гильберта. Гедель показал, что любая подобная точная ( формальная) система аксиом и правил вывода, если только она достаточна широка, чтобы содержать в себе описания простых арифметических теорем ( как, например, последняя теорема Ферма, рассмотренная в главе 2), и если она свободна от противоречий - то такая система должна включать утверждения, которые не являются ни доказуемыми, ни недоказуемыми в рамках формализма данной системы. Истинность таких неразрешимых утверждений, следовательно, не может быть выяснена с помощью методов, допускаемых самой системой. Более того, Гедель смог показать, что даже утверждение о непротиворечивости системы аксиом, будучи переведенным в форму соответствующей теоремы, само по себе является неразрешимым. [8]
Геделя о неполноте Две теоремы, доказанные Куртом Гс - делем в 1931 г. В одной из формулировок цервой георемы утверждается, что совокупность истинных утверждений арифметики не является рекурсивно перечислимой ( См. Вторая теорема о неполноте связана с программой Гильберта в области оснований математики. [9]
В 1930 г. он направил в печать работу5, которая превратила программу Гильберта в руины. Другой великий математик Джон фон Нейман читал тогда курс лекций о программе Гильберта. [10]
Этот замечательный результат является следствием еще более поразительной теоремы, также доказанной Геделем. Значение последней теоремы ( называемой обычно теоремой Геделя о неполноте) исключительно велико - она показала невыполнимость программы Гильберта в ее полном виде, так как утверждает, по существу, что любая непротиворечивая формальная теория, формализующая арифметику натуральных чисел, не полна. Основную роль в доказательстве этой теоремы играет некоторое арифметическое высказывание S, обладающее тем свойством, что ни S, ни-5 не являются теоремами, что и доказывает отрицательную неполноту теории. Поскольку S и - S суть именно высказывания ( а не просто некоторые формулы), то - если интерпретировать их как высказывания содержательной арифметики - одно из них истинно, а другое ложно. А так как ни одно из них не доказуемо, то получается, что в арифметике имеется истинное, но не доказуемое высказывание. Иными словами, в арифметике имеется неразрешимое высказывание. [11]
Так, истинность математики Гильберт сводит к ее непротиворечивости и пытается доказать последнюю в самой математике. Невозможность осуществления программы Гильберта была доказана Геделем. Пытаться же выводить, как это делает Гильберт в отношении математики, истинность к. В этике - методологический принцип, лежащий в основе некоторых домарксистских и совр. Канта, к-рый считал, что из некоего безусловного положения ( категорического императива), имеющего абстрактно-формальный характер, можно вывести все содержательные моральные принципы и решения применительно к различным социальным условиям и жизненным ситуациям. В действительности же формула этого императива ( поступай так, чтобы правило твоего поведения могло быть вместе с тем законом для всех людей) может иметь лишь методологический смысл, как критерий отнесения к. Такое понимание предмета этики приводит не только к неправомерному сужению ее задач, но и к ряду научно несостоятельных выводов. [12]
Идея программы Гильберта состояла в том, чтобы найти применительно к любой отдельно взятой области математики набор аксиом и правил вывода, который был бы достаточно полным для всех возможных в данной области корректных математических рассуждений. То, что мы не рассматриваем более общую область математики, не умаляет нашу задачу: арифметика и сама по себе обладает общностью, достаточной для применения процедуры Геделя. Если мы допустим, что благодаря программе Гильберта мы действительно располагаем такой всеобъемлющей системой аксиом и правил вывода для арифметики, то мы тем самым обретаем и определенный критерий для выявления корректности математического доказательства любого утверждения в области арифметики. [13]
Он серьезнейшим образом воспринял концепцию Брауэра, поддержанную Марковым, что математика по сути своей есть гуманитарная наука, и рассматривал ее как одну из отраслей мировой культуры. Сам он стеснялся публиковать философские работы ( многие математики страдают этой ложной скромностью), но его философские рассуждения на близкие к современной логике темы всегда были исключительно глубокими. В частности, именно он одним из первых в России заметил, что программа Гильберта обоснования математики вовсе не завершилась провалом. Теорема Геделя о недоказуемости непротиворечивости показала лишь неточность формулировки средств, а сама цель программы Гильберта была практически достигнута в результате метаматематических исследований по интуиционистской и конструктивной математике. Таким образом, А. Г. Драгалин еще раз подтвердил глубину воззрений Гильберта, поддержанных, кстати, его якобы непримиримым ( если судить по писаниям вульгаризаторов истории науки) оппонентом Брауэром: хотя порою в принципе идеальные понятия могут быть устранены, редукционизм и ползучий 4 эмпиризм приводят к полной умственной прострации, просто невероятно увеличивая объем выкладок. Ни до чего нетривиального мы не можем добраться без использования идеальных понятий, и чем более сильного практического результата мы желаем добиться, тем более высокую теорию надо задействовать. Другое дело, что с этой высоты надо еще суметь спуститься на грешную землю, поскольку даже операция выяснения, не является ли одно из понятий высокого уровня примером другого, уже неразрешима алгоритмически. [14]
Вопросы о непротиворечивости стали особенно актуальны в нач. Гильбертом выдвинута программа обоснования математики, целью которой было доказательство непротиворечивости формальных теорий, использующих бесконечные множества. Программа Гильберта существенно переосмыслена после открытий К. [15]