Cтраница 1
Аналитическое продолжение элемента, / о ( z) можно было бы осуществить с помощью переразложения степенных рядов ( § 20), однако этот путь является весьма громоздким. [1]
Аналитическое продолжение элемента ( а, Р) вдоль всевозможных путей в расширенной плоскости С позволяет получить все регулярные элементы такого же типа ( b, Q), составляющие в совокупности полную аналитич. [2]
Естественно возникает вопрос о существовании какого-либо регулярного процесса построения аналитического продолжения элемента по кривой. Мы опишем сейчас один такой процесс, теоретически пригодный в любом случае, но слишком громоздкий, чтобы применять его в конкретных задачах. Для простоты мы ограничимся случаем, когда кривая не проходит через бесконечно удаленную точку. [3]
Dm мы можем получить в области Dm в качестве аналитического продолжения элемента / о другой, отличный от функции fm голоморфный функциональный элемент. Таким образом, однозначный характер непосредственного аналитического продолжения в общем случае теряется. [4]
Естественно возникает вопрос о существовании какого-либо регулярного процесса построения аналитического продолжения элемента по кривой. Опишем сейчас один такой процесс, теоретически пригодный в любом случае, Но слишком громоздкий, чтобы применять его в конкретных задачах. Для простоты ограничимся случаем, когда кривая не проходит через бесконечно удаленную точку. [5]
Функция t F ( z), аналитическая на кривой Г, называется аналитическим продолжением элемента / 0 ( z) заданного в начале этой кривой. [6]
Функция t, F ( z), аналитическая на кривой Г, называется аналитическим продолжением элемента fa ( г), заданного в начале этой кривой. [7]
Пусть, далее, L - любая кривая, выходящая из точки z0 и лежащая в области D, а Ф ( z, L) - аналитическая на кривой L функция, полученная аналитическим продолжением элемента / ( z) вдоль кривой L. Мы скажем, что последовательность Fn ( z) равномерно сходится внутри области D, если при любом выборе кривой L последовательность Фп ( г, L) равномерно сходится на этой кривой. [8]
При этом говорят, что элемент Dm, fm ] является аналитическим продолжением элемента D, Д по соединяющей их цепи областей. [9]
Пусть нам дана аналитическая функция F ( z), порожденная исходным элементом f ( z) в точке га. Возьмем некоторую область D, содержащую точку z а, и рассмотрим аналитические продолжения элемента f ( z) не по всем возможным кривым, выходящим из точки а, а только по тем, которые лежат в области D. В результате таких продолжений мы получим функцию Ф ( z), отличающуюся от всей аналитической функции F ( z) тем, что ее область определения несколько сужена. [10]
До сих пор ничего не говорилось о том, как именно осуществлять аналитическое продолжение элемента вдоль кривой. [11]
Пусть нам дана аналитическая функция F ( z), порожденная исходным элементом / ( z) в точке z а. Возьмем некоторую область D, содержащую точку z а, и рассмотрим аналитические продолжения элемента / ( z) не по всем возможным кривым, выходящим из точки а, а только по тем, которые лежат в области D. В результате таких продолжений мы получим функцию Ф ( г), отличающуюся от всей аналитической функции F ( z), тем, что ее область определения несколько сужена. [12]
Пусть элемент f ( z), заданный в точке г0, допускает аналитическое продолжение по любым кривым, выходящим из точки 2о и лежащим в области D. Если кривые YO, Vi выходят из точки Zg и гомотопны в области D, то аналитическое продолжение элемента / ( г) вдоль кривых YO, YI приводит к одному и тому же элементу. [13]
Очевидно, можно предположить, что WQ OO и что, следовательно, С есть внешность некоторого круга К с центром в начале; к этому случаю легко перейти при помощи очень простого отображения. Множество D всех точек р из Rf, которых можно достичь при аналитическом продолжении элемента р0 функции / ( г) так, чтобы аналитическое продолжение, соответствующее элементу q0 функции Ф ( ОУ), осуществлялось вне К, образует на Rf открытую область. [14]
Pir - Cm - векторная аналитическая в поликруге Ра функция. Пусть ( g, Рь) - элемент векторной аналитической функции g - ( gi, - gm) такой, что элементы ( gk, РЬ) являются аналитическим продолжением элементов ( /, Ра), ftl... Тогда элемент ( g, Рь) называется аналитическим продолжением элемента ( f, Pa) вдоль пути и. Аналогично определяются элемент матричной аналитической функции и его аналитическое продолжение. [15]