Cтраница 2
Вообще, если функция / ( г) регулярна в области В, функция p ( z) регулярна в области Blt а области В и Вг имеют некоторую общую часть D, в которой / ( z) p ( z), то функцию y ( z) обычно называют непосредственным аналитическим продолжением функции / ( г) из области В в область В1у а функция / ( г) носит название непосредственного аналитического продолжения функции p ( z) из области Вг в область В. [16]
Вообще, если функция / ( г) регулярна в области В, функция p ( z) регулярна в области Blt а области В и Вг имеют некоторую общую часть D, в которой / ( z) p ( z), то функцию y ( z) обычно называют непосредственным аналитическим продолжением функции / ( г) из области В в область В1у а функция / ( г) носит название непосредственного аналитического продолжения функции p ( z) из области Вг в область В. [17]
Dm мы можем получить в области Dm в качестве аналитического продолжения элемента / о другой, отличный от функции fm голоморфный функциональный элемент. Таким образом, однозначный характер непосредственного аналитического продолжения в общем случае теряется. [18]
DJ пересекаются по некоторой области GO и в области D D0 [ JDl существует голоморфная функция /, являющаяся продолжением функции / 0, заданной в области D0, и одновременно продолжением функции / 1; заданной в области Dv. Тогда функция / j называется непосредственным аналитическим продолжением функции / о на область D В силу теоремы единственности непосредственное аналитическое продолжение всегда однозначно. [19]
О, Ь ] входит, по лемме 2, в область определения функции), которая принимает в точке z Ъ положительное значение. Пусть функция fc ( z) является непосредственным аналитическим продолжением вдоль положительного направления действительной оси ряда в правой части равенства ( IV. МС ( Ь) является односвязной областью, в которой функция Q fc ( z) является однозначной и аналитической и имеет обратную функцию г / ь ( 0), однозначную, аналитическую и однолистную в этой области. [20]
DJ пересекаются по некоторой области GO и в области D D0 [ JDl существует голоморфная функция /, являющаяся продолжением функции / 0, заданной в области D0, и одновременно продолжением функции / 1; заданной в области Dv. Тогда функция / j называется непосредственным аналитическим продолжением функции / о на область D В силу теоремы единственности непосредственное аналитическое продолжение всегда однозначно. [21]
Изложение основного материала достаточно близко к традиционному. Однако мы не проводим специального рассмотрения элементарных функций комплексной переменной в самом начале курса, как это делается в большинстве учебников, а вводим элементарные функции комплексной переменной как непосредственное аналитическое продолжение элементарных функций действительной переменной. Теоремы об аналитическом продолжении соотношений позволяют единообразно перенести в комплексную область известные свойства элементарных функций действительной переменной. [22]
Пусть функция fc ( z) является непосредственным аналитическим продолжением ряда в правой части равенства ( IV. Если точка zi ( fc) принадлежит области определения функции fc ( z) и является корнем производной этой функции, то не существует однозначной аналитической функции, которая являлась бы непосредственным аналитическим продолжением вириального разложения предельного давления р по степеням предельной плотности g на связную область, содержащую отрезок [ 0, / c ( zi ( / c)) ] действительной оси. [23]
В основе описанного выше процесса аналитического продолжения лежало понятие непосредственного аналитического продолжения двух элементов: [ Ог, fl ( z) и G2, / 2 ( 2) с налегающими областями. Существенным было то, что с помощью двух функций / j ( z) и / 2 ( z), аналитических в двух областях Gt и G2, получалась одна функция f ( z), аналитическая в большей области G Oi U G2 ( черт. Це-лесообразно обобщить определение элемента и непосредственного аналитического продолжения следующим образом. [24]
Из определения величины zi ( fc) и условий ( 41) вытекает, что на отрезке [ О, Ь ] нет особых точек для аналитического продолжения ряда ( 23) вдоль положительного направления действительной оси. Далее, из условий ( 41) и определения величины zi ( fc) вытекает, что на отрезке [0, 6] нет корней производной функции fc ( z) и, следовательно, эта производная сохраняет свой знак на этом отрезке. Точка z О входит как в область сходимости ряда ( 23)), так и в область определения функции fc ( z), являющейся непосредственным аналитическим продолжением этого ряда вдоль положительного направления действительной оси. [25]
Пусть G - выпуклая область и f ( z) - функция, аналитическая и однозначная в области G. Два элемента Gt, fi ( z) и G2, / 2 ( z) рассматриваются как тождественные тогда и только тогда, когда области Gl и G2 совпадают и fi ( z) - f2 ( z) во всех точках области. Два элемента Glt / ( z) и fG2, / 2 ( 2), удовлетворяющие условиям: 1) Gt и G2 имеют непустое пересечение, 2) в общей части областей Gl и G2 значения / t ( z) и / 2 ( z) совпадают, называются непосредственными аналитическими продолжениями один другого. [26]
Во всех предыдущих рассмотрениях мы фактически основывались на формуле Коши, справедливой для однозначной аналитической функции. Следовательно, рассмотренные методы можно применять лишь тогда, когда аналитическое продолжение f ( z) функции f ( x) с действительной оси в область, ограниченную контуром интегрирования, является однозначной аналитической функцией. В тех же случаях, когда полная аналитическая функция F ( z) оказывается многозначной на полной комплексной плоскости z, надо так выбирать контур интегрирования, чтобы внутри его не содержалось точек разветвления функции F ( z), и рассматривать лишь однозначную ветвь f ( z) полной аналитической функции F ( z), являющуюся непосредственным аналитическим продолжением функции f ( x ] в комплексную область. Эти соображения позволяют распространить рассмотренные выше методы на ряд несобственных интегралов, часто встречающихся в приложениях. Рассмотрим несколько типичных случаев. [27]