Cтраница 2
Если существует некоторое произведение многообразий X и У, то множество его элементов должно быть декартовым произведением X и У. [16]
Другой, более значительный вопрос состоит в том, действительно ли необходима для вложения группы РПСЩ декартова степень группы Рь ( Щ или, может быть, достаточно прямой степени. Отличительной чертой многих произведений многообразий нулевой экспоненты является то, что прямого произведения недостаточно. Это, как мы увидим, составляет контраст с поведением свободных нильпотентных групп и некоторых иных групп аналогичных типов. [17]
Если пространство X односвязно, то этот слой является комплексным тором. Таким образом, компактное килсрово однородное пространство есть произведение проективного рационального однородного многообразия на комплексный тор. [18]
Во-вторых, я хотела бы обратить внимание на возможность иного изложения, которое имеет большие преимущества перед приведенным. Теорема вложения Шмелькина (22.48) могла бы, я думаю, быть взята в качестве отправной точки для обращения с произведениями многообразий. Ее доказательство прямое и использует только основные факты и конструкцию вербального сплетения; однако с ее помощью сокращается и упрощается многое из гл. [19]
Если Щ [ - многообразие всех групп, а 91, 58 - его подмногообразия, то произведение 91эдо58 совпадает с произведением в смысле X. Произведение многообразий полугрупп может не быть многообразием. [20]
Но с помощью Qd в касательном пространстве Т ( М) можно ввести топологию листа Мебиуса ( см. ( 2.2.16 3)), в результате чего топологически Т ( М ] не представимо в виде произведения Т ( М) / М х Rm. Но если Т ( М) как многообразие диффеоморфно М х Rm, то многообразие М называется параллелизуемым, поскольку произведение карт позволяет в этом случае определить, что такое параллельность ( и даже тождественность) касательных векторов в различных точках. Локально Т ( М) всегда есть произведение многообразий. [21]
Многообразие S называется многообразием ского типа, если порождается своими нильпотент-ными группами без кручения. При дополнительном предположении об отсутствии кручения в факторах нижних центральных рядов свободных групп Рк ( &) многообразие называется магнусовым. Класс магну-совых многообразий строго меньше класса многообразий лиевского типа. Оба класса замкнуты относительно операции произведения многообразий. Примеры магнусовых многообразий: О, 9U, Я, к, I e N, и многообразия, полученные из многообразий 01А с помощью конечной последовательности пересечений и умножений. [22]
Многообразие 6 называется многообразием ского типа, если порождается своими нильпотент-ными группами без кручения. При дополнительном предположении об отсутствии кручения в факторах нижних центральных рядов свободных групп fK () многообразие называется магнусовым. Класс магну-совых многообразий строго меньше класса многообразий лиевского типа. Оба класса замкнуты относительно операции произведения многообразий. Примеры магнусовых многообразий: 0, 91&, У, k, I e N, и многообразия, полученные из многообразий 9tfe с помощью конечной последовательности пересечений и умножений. [23]
Может быть так, что кроссово многообразие, порождаемое своими - порожденными группами, содержит критические группы, имеющие больше чем k образующих. Например, метабе-лево многообразие 212 порождается группой / ( Sl2), но оно содержит критические группы с k образующими при произвольно большом k, получаемые как факторы сплетений циклической порядка р с элементарными абелевыми р-группами. Чтобы описать, что известно в подобной ситуации о кроссовом многообразии, вернемся к утверждениям 24.64 и 24.66 об условиях того, что произведение многообразий является кроссовым Многообразием. Теперь мы можем показать, что 1Ш, где 11 - ( йильпотентное многообразие класса с и экспоненты т, взаимно простой с п, является кроссовым многообразием. [24]