Cтраница 1
Произведения отражений S2S и 5А представляют собой сдвиги или повороты ( см. стр. Следовательно, произведение двух сомножителей S2Si и S Sz есть либо сдвиг, либо поворот ( см. стр. [1]
Так как движение является произведением отражений. [2]
В группе, состоящей из произведений отражений, сдвиги образуют подгруппу. Произведения отражений, содержащие четное число сомножителей, также образуют подгруппу. [3]
Таким образом, отображение, обратное произведению отражений, есть снова произведение отражений. [4]
Оба автоморфизма F и S F являются произведениями отражений. [5]
Мы видим, что операция (11.3), равная произведению отражения аг и поворота на угол 0, есть зеркальный поворот, тогда как операция (11.4), равная произведению инверсии и поворота на угол 0, есть инверсионный поворот. [6]
Итак, любое представление тождественного автоморфизма / в виде произведения отражений содержит четное число отражений. [7]
Таким образом, отображение, обратное произведению отражений, есть снова произведение отражений. [8]
Не составляет труда доказать эту-теорему; достаточно выразить заданные вращения как произведения отражений ( попарно) в плоскостях, образующих стороны сферического треугольникаRP, PQ; PQ, QR; QR RP. Эта теорема и данное выше доказательство представлены в работе Коксетера ( [8], стр. [9]
Отсюда следует также, что любой автоморфизм можно представить в виде произведения отражений. [10]
Можно ли, взглянув на автоморфизм, сразу, то есть не разлагая его в произведение отражений, сказать, является ли он движением. [11]
Если преобразование w e W оставляет на месте feE, то w представляется в виде произведения отражений ra ( a е Д), каждое из которых оставляет f на месте. [12]
Покажем, что простейшие преобразования симметрии I рода движения - параллельный перенос и поворот - представляют произведения отражений в двух плоскостях. [13]
Необходимо, конечно, показать, что конечный результат не зависит от представления у в виде произведения отражений. [14]
С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что произведение taSh ( a) ( a 1 0) является зеркальным поворотом вокруг некоторой точки и что taSk ( 0) есть произведение отражения в некоторой плоскости ofc на трансляцию вдоль этой плоскости. [15]