Cтраница 2
В группе, состоящей из произведений отражений, сдвиги образуют подгруппу. Произведения отражений, содержащие четное число сомножителей, также образуют подгруппу. [16]
Они также образуют группу. Произведение любых двух произведений отражений само является произведением отражений. [17]
Итак, автоморфизмы пространства образуют груп пу. Ту же группу образуют произведения отражений. Любой автоморфизм допускает представление в виде произведения не более чем четырех отражений. [18]
Отражение сферы S ( z, аг) от диаметра, которое переводит а и а, переводит окружность К ( ч, ), где 0 е аг - az, в окружность / С ( а, е); а так как отражение сохраняет длину кривых, то угол с вершиной а будет иметь ту же меру, что и угол с вершиной а, соответствующий ему при этом отражении. Таким образом, отражения и произведения отражений сохраняют угловую меру. [19]
Удобное свойство группы Isom 2) заключается в том, что она порождена отражениями. Чтобы показать это, рассмотрим произведение отражений аир относительно прямых / и m соответственно. [20]
Они также образуют группу. Произведение любых двух произведений отражений само является произведением отражений. [21]
Автоморфизмы пространства образуют группу. Примерами автоморфизмов могут служить отражения относительно плоскостей и произведения отражений, образующие группу. Она входит в группу всех автоморфизмов пространства как несобственная ( то есть совпадающая со всей группой) подгруппа. [22]
Если плоскости Si, S2 параллельны, то произведение S2Si отражений совпадает со сдвигом, только не плоскости, а пространства: векторы, идущие от точки х к ее образу S2S x, для всех точек пространства параллельны и имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Наоборот, любой сдвиг пространства можно представить в виде произведения отражений относительно двух надлежащим образом подобранных параллельных плоскостей. [23]
Общее доказательство пригодности этого способа, данное Кос-тантом, основывается на некоторых свойствах группы Вейля и главной трехмерной подалгебры комплексной алгебры Ли G, соответствующей группе &. Фундаментальную роль играет элемент R группы Вейля, являющийся произведением отражений, связанных со всеми простыми корнями. Обозначим через h порядок этого элемента. [24]
Доказательство предложения 1.1.1. Поскольку группа O ( W) порождена отражениями относительно гиперплоскостей, отображение X сюръектив-но. Более того, элемент а должен антикоммутировать с любым w e W. Так как Tg есть произведение отражений, само g является произведением элементов из W. [25]
Произведения четного числа отражений относи тельно плосковтей заведомо образуют группу. Но является ли она собственной подгруппой группы автоморфизмов пространства. Иначе говоря, можно ли быть уверенным в том, что подгруппа произведений четного числа отражений не совпадает со всей группой автоморфизмов. Любой автоморфизм допускает множество разнообразнейших представлений в виде произведения отражений, и вполне можно было бы думать, что автоморфизм, представимый в виде произведения нечетного числа отражений, представим и в виде произведения четного числа отражений. [26]