Cтраница 2
На основании доказанной теоремы легко получается правило дифференцирования произведения любого числа функций. [16]
Этот результат словесно выражается так: чтобы вычислить производную произведения любого числа функций, надо продифференцировать первую функцию и умножить полученную производную на произведение всех остальных функций, затем найти производную второй функции и умножить ее на произведение всех остальных функций. [17]
Этот результат словесно выражается так: чтобы вычислить производную произведения любого числа функций, надо продифференцировать первую функцию и умножить полученную производную на произведение всех остальных функций, затем найти производную второй функции и умножить ее на произведение всех остальных функций. Точно так же поступить со всеми функциями-сомножителями и все полученные таким образом произведения сложить. [18]
Коммутативная группа обладает обобщенной коммутативностью, состоящей в том, что произведение любого числа сомножителей не зависит от их порядка. Истинность этого утверждения не вызывает сомнений, поскольку, переставляя соседние сомножители, мы всегда можем перейти от любого исходного расположения сомножителей к любому другому расположению. Отсюда следует, что соотношение ( аЪ) п - апЪп выполняется при целых п, больших единицы. В свою очередь из этого соотношения мы заключаем, что аналогичное равенство выполняется при произвольном целом п и любом числе сомножителей. [19]
Формирование отношений-произведений является плодотворным источником сложных понятий, поскольку мы можем образовывать произведения любого числа отношений. В качестве другой иллюстрации, опять-таки на основе системы семейных связей, содержащей множество п различных персон с определенными выше отношениями С и Р, рассмотрим отношение / С ( кузен кого-то), которое может быть определено через отношение-произведение ССРР. [20]
Заметим, наконец, что теорема может быть обобщена на распределения в произведении любого числа пространств. [21]
Ат ( т 2) называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие, являющееся произведением любого числа остальных событий, независимы. [22]
Дизъюнкция любого числа первичных термов равна либо единице, либо элементарной дизъюнкции. Произведение любого числа первичных термов равно либо нулю, либо элементарному произведению. [23]
Из формулы ( 6) легко вывести формулу для производной от произведения нескольких функций. Аналогичный вид имеет формула для произведения любого числа множителей. [24]
Рассмотрим теперь множество всех отличны к от нуля вещественных чисел. Произведение любых двух таких чисел - снова отличное от нуля число; произведение любого числа а на ( вещественное, отличное от нуля) число 1 равно а; для каждого ( отличного от нуля. [25]
Из этого свойства вытекает, в частности, что произведение бесконечно малой на величину постоянную есть величина бесконечно малая. Произведение двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая, так как бесконечно малая величина является, конечно, частным случаем ограниченной величины. Аналогичным образом произведение любого числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая. [26]
Заметим также, что существуют полные ультрабочечные, но не метризуемые топологические векторные пространства. Это следует из того, что произведение любого числа полных метрических пространств является бэровским пространством ( Б у р б а к и [ 7, стр. [27]
А на матрицу В обозначают С АВ. Из определения П.м. следует, что, во-первых, рассматривается произведение только согласованных матриц, во-вторых, элемент матрицы АВ, стоящий в 1 - й строке и / - м столбце, равен сумме произведений элементов i - й строки матрицы А на соответствующие элементы / - го столбца матрицы В. Если матрица А согласована с матрицей В, а матрица АВ согласована с матрицей С, то под произведением ABC трех матриц понимают матрицу ( А В) С. Аналогично определяется произведение любого числа / г ( k 3) матриц. [28]
Идеалы предложил Дедекинд, который намеревался, вводя идеальные элементы, восстановить основной закон единственности разложения числа на простые множители, нарушавшийся в алгебраических числовых полях. Аналогичным образом наибольший общий делитель двух чисел а и Ъ можно интерпретировать как множество всех чисел вида ах by, где х и у независимо принимают значения из множества всех целых чисел. Но в случае алгебраических числовых полей аналогичное утверждение перестает быть верным, и поэтому возникает необходимость рассматривать в качестве делителей не только числа, но и идеалы. По определению подмножество кольца R называется идеалом, если сумма и разность любых чисел из подмножества принадлежат ему же, равно как и произведение любого числа из подмножества и любого числа из кольца. С другой стороны, понятие идеала возникло в алгебраической геометрии. Алгебраическая поверхность в пространстве определяется одним алгебраическим уравнением / 0, где / - многочлен от координат. Все многочлены такого типа образуют идеал в кольце многочленов; алгебраическое многообразие состоит из точек, в которых все многочлены идеала обращаются в нуль. Именно для таких идеалов справедлива теорема Гильберта о базисе - один из основных инструментов Гильберта в изучении инвариантов. Эта теорема утверждает, что любой идеал кольца многочленов имеет конечный базис. Теорема Не-тера о вычетах содержит критерий, позволяющий нам решать, принадлежит ли тот или иной многочлен идеалу, элементы которого имеют общими лишь конечное число нулей. Для полиномиальных идеалов Ласкер, бол ее известный нематематикам как неоднократный чемпион мира по шахматам, получил результаты, показьюающие, что свойства таких идеалов значительно отличаются от того, что обнаружил Дедекинд в полях алгебраических чисел. [29]
Переведем его в правое положение, теперь после нажатия на клавишу Ж машина передает число из левой половины счетчика результатов в механизм умножения и автоматически умножает это число на число, набранное на клавиатуре. Переводим рычаг сокращенного умножения в правое положение. Задаем первый сомножитель в левую поло & ину счетчика результатов. Набираем на левой клавиатуре второй сомножитель и нажимаем на клавишу УИ. От этого в левой половине счетчика результатов появится произведение этих двух сомножителей, набираем на левой клавиатуре третий сомножитель и опять нажимаем на клавишу М - в левой половине счетчика результатов получаем произведение уже трех сомножителей. Таким образом, мы получим произведение любого числа сомножителей, нажимая только на одну клавишу УН. [30]