Cтраница 2
Ввиду теоремы 4.178 самое большее, на что можно было бы рассчитывать в общем случае, - это что N разлагается в прямое произведение подгрупп Л -, l t r, каждая из которых изоморфна группе типа Ли характеристики 2, знакопеременной или симметрической группе. [16]
Если случайно оказалось, что W П С V ( например, если С К), то на самом деле N будет разлагаться в прямое произведение подгрупп Х, изоморфных полупрямому произведению Vt на Л / j, I i г. Однако из равенства N П 02 ( X) V вытекает, что Af действует тривиально на 02 ( X) / V. Следовательно, в противном случае, конечно, N не будет таким прямым произведением. [17]
Так как уже установлено, что инвариантные подгруппы образуют модулярную структуру, нам нужно только убедиться, что в случае групп прямое объединение элементов структуры является прямым произведением подгрупп. При разложениях G At X A-Bj X At подгруппы At и Bj перспективны фактор-группе G / At и, следовательно, проектнвиы. [18]
С точки зрения теории групп возможность и единственность представления в тригонометрической форме всякого комплексного числа, отличного от нуля, означает, что мультипликативная группа всех комплексных чисел, отличных от нуля, разлагается в прямое произведение подгруппы Т, описанной выше, и подгруппы положительных чисел. [19]
Доказательства обеих теорем основываются на том, что, заменяя пару Я, Hf ] N на пару HN, N при разных выборах Я и N, мы можем перейти от одного разложения группы в прямое произведение неразложимых подгрупп к другому, или от одного композиционного ряда к другому. По существу, они используют только свойства частично упорядоченного множества подгрупп группы G и могут быть в этой форме аксиоматизированы. Такая трактовка полезна тем, что применима и к модулям конечной длины и дает для них аналог тех же теорем. [20]
Милса [4] рассматриваются условия распадения голоморфа Я в прямое произведение собственных подгрупп. Показывается, что это возможно тогда и только тогда, когда группа G совершенна или распадается в прямое произведение собственных характеристических подгрупп. Здесь же указаны условия распадения группы Я в прямое произведение конечного числа неразложимых множителей. [21]
Из разложения Жор-дана следует, что группа G как абстрактная группа разлагается в прямое произведение подгруппы Gs, состоящей из полупростых элементов, и подгруппы Gu, состоящей из упипотентных элементов. [22]
Если не разрешима, то не каждая компактная подгруппа принадлежит характеристической. В каждой группе Ли ф с алгеброй Р алгебре Г соответствует замкнутая компактная абелева подгруппа; подгруппа эта разлагается в прямое произведение однопараметрических замкнутых компактных подгрупп. [23]