Cтраница 2
Так как модуль векторного произведения ЬХс численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах ft - и с, то векторно-скалярное произведение а - ЬХс, очевидно, численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с ( фиг. [16]
Прежде чем решать задачи из этого практического занятия, рекомендуется повторить основы векторной алгебры, в особенности такие понятия, как скалярное и векторное произведения, векторно-скалярное произведение, двойное векторное произведение, а также основы теории проекций. [17]
Прежде нем решать задачи из этого практического занятия, рекомендуется повторить основы векторной алгебры, в особенности такие понятия, как скалярное и векторное произведения, векторно-скалярное произведение, двойное векторное произведение, а также основы теории проекций. [18]
Векторно-скалярное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы компланарны. Действительно, объем параллелепипеда, построенного на компланарных векторах, равен нулю, и, наоборот, если объем равен нулю, то векторы компланарны. [19]
Так как модуль векторного произведения ЬХс численно равен площади параллелограмма, построен. С, то векторно-скалярное произведение а - ЬХс, очевидно, численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с ( фиг. [20]
Легко показать, что выражение в квадратных скобках в левой части (1.47) представляет собой дивергенцию векторного произведения ВХЕ. В самом деле, применим к ВХЕ дифференциальный оператор V - Чтобы воспользоваться правилом дифференцирования произведения, можно в смешанном векторно-скалярном произведении V ( BXE) выполнить циклические перестановки сомножителей так, чтобы оператор V действовал только на один из сомножителей. [21]
ЬХс острый ( как на чертеже), и отрицательным, если этот угол тупой. Можно также сказать, что произведение а - ЬХс численно равно ушестеренному объему тетраэдра ОАВС, построенного на векторах а, Ь, с, С этой точки зрения выше указанные два свойства векторно-скалярного произведения приобретают простой геометрический смысл. [22]
ЬХс острый ( как на чертеже), и отрицательным, если этот угол тупой. С этой точки зрения выше указанные два свойства векторно-скалярного произведения приобретают простой геометрический смысл. [23]
Чтобы сформулировать получающийся закон переместительности, отметим на окружности ( рис. 56) три точки, которые обозначим, как множители, буквами а, Ь, с. Мы видим (4.22), что при перестановке множителей, не нарушающей их кругового порядка, векторно-скалярное произведение не меняется; при перестановке же множителей, нарушающей круговой порядок, векторно-скалярное произведение меняет только свой знак. [24]
Чтобы сформулировать получающийся закон переместительности, отметим на окружности ( рис. 56) три точки, которые обозначим, как множители, буквами а, Ь, с. Мы видим (4.22), что при перестановке множителей, не нарушающей их кругового порядка, векторно-скалярное произведение не меняется; при перестановке же множителей, нарушающей круговой порядок, векторно-скалярное произведение меняет только свой знак. [25]
Этими тремя произведениями и исчерпываются все типы произведений трех векторов. Мы изучим их подробно и установим два замечательных факта. Во-вторых, мы покажем, что векторно-скалярное произведение ( а X Ь) - с выражается через попарные скалярные произведения своих сомножителей. [26]